Алгебра Примеры

$f (x) = - \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 4$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим ${(x - 1)}^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + 4$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + 4$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = 4$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, 4)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.5.3.3

Разделим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 1.5.3.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 1.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.5.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, 3)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = 5$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 4)$

Фокус: $(1, 3)$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = 5$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 4)$

Фокус: $(1, 3)$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = 5$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} + \frac{15}{4}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 15}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.3

Добавим $- 1$ и $15$ .

$f (- 1) = \frac{14}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель $14$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$f (- 1) = \frac{2 (7)}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 1) = \frac{7}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{7 - 1}{2}$

Этап 2.2.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вычтем $1$ из $7$ .

$f (- 1) = \frac{6}{2}$

Этап 2.2.5.2.2

Разделим $6$ на $2$ .

$f (- 1) = 3$

Этап 2.2.6

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{4} + \frac{0}{2} + \frac{15}{4}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 15}{4} + \frac{0}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 + 15}{4} + \frac{0}{2}$

Этап 2.5.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 15}{4} + \frac{0}{2}$

Этап 2.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Добавим $0$ и $15$ .

$f (0) = \frac{15}{4} + \frac{0}{2}$

Этап 2.5.3.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (0) = \frac{15}{4} + 0$

Этап 2.5.3.3

Добавим $\frac{15}{4}$ и $0$ .

$f (0) = \frac{15}{4}$

Этап 2.5.4

Окончательный ответ: $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 0$ равно $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{15}{4}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{- {(3)}^{2} + 15}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 2.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 9 + 15}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 2.8.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (3) = \frac{- 9 + 15}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 2.8.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Добавим $- 9$ и $15$ .

$f (3) = \frac{6}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 2.8.3.2

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (3) = \frac{2 (3)}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 2.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.8.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{3 + 3}{2}$

Этап 2.8.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.4.1

Добавим $3$ и $3$ .

$f (3) = \frac{6}{2}$

Этап 2.8.3.4.2

Разделим $6$ на $2$ .

$f (3) = 3$

Этап 2.8.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 3$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + \frac{2}{2} + \frac{15}{4}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 15}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 15}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 2.11.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 15}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 2.11.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Добавим $- 4$ и $15$ .

$f (2) = \frac{11}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 2.11.3.2

Разделим $2$ на $2$ .

$f (2) = \frac{11}{4} + 1$

Этап 2.11.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (2) = \frac{11}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 2.11.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{11 + 4}{4}$

Этап 2.11.3.5

Добавим $11$ и $4$ .

$f (2) = \frac{15}{4}$

Этап 2.11.4

Окончательный ответ: $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & \frac{15}{4} \\ 1 & 4 \\ 2 & \frac{15}{4} \\ 3 & 3 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 4)$

Фокус: $(1, 3)$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & \frac{15}{4} \\ 1 & 4 \\ 2 & \frac{15}{4} \\ 3 & 3 \end{array}$

Этап 4