Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 2$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 1.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 1.4.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, \frac{5}{2})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 3$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{3}{2}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(3, 2)$

Фокус: $(3, \frac{5}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{3}{2}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(3, 2)$

Фокус: $(3, \frac{5}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{3}{2}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - 3 \cdot 1 + \frac{13}{2}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + \frac{{(1)}^{2} + 13}{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + \frac{1 + 13}{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $1$ и $13$ .

$f (1) = - 3 \cdot 1 + \frac{14}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = - 3 + \frac{14}{2}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $14$ на $2$ .

$f (1) = - 3 + 7$

Этап 2.2.3

Добавим $- 3$ и $7$ .

$f (1) = 4$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - 3 \cdot 2 + \frac{13}{2}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = - 3 \cdot 2 + \frac{{(2)}^{2} + 13}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 3 \cdot 2 + \frac{4 + 13}{2}$

Этап 2.5.2.2

Добавим $4$ и $13$ .

$f (2) = - 3 \cdot 2 + \frac{17}{2}$

Этап 2.5.2.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (2) = - 6 + \frac{17}{2}$

Этап 2.5.3

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = - 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{17}{2}$

Этап 2.5.4

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{17}{2}$

Этап 2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{- 6 \cdot 2 + 17}{2}$

Этап 2.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f (2) = \frac{- 12 + 17}{2}$

Этап 2.5.6.2

Добавим $- 12$ и $17$ .

$f (2) = \frac{5}{2}$

Этап 2.5.7

Окончательный ответ: $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{2} - 3 \cdot 5 + \frac{13}{2}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = - 3 \cdot 5 + \frac{{(5)}^{2} + 13}{2}$

Этап 2.8.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = - 3 \cdot 5 + \frac{25 + 13}{2}$

Этап 2.8.1.2.2

Добавим $25$ и $13$ .

$f (5) = - 3 \cdot 5 + \frac{38}{2}$

Этап 2.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Умножим $- 3$ на $5$ .

$f (5) = - 15 + \frac{38}{2}$

Этап 2.8.2.2

Разделим $38$ на $2$ .

$f (5) = - 15 + 19$

Этап 2.8.3

Добавим $- 15$ и $19$ .

$f (5) = 4$

Этап 2.8.4

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - 3 \cdot 4 + \frac{13}{2}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = - 3 \cdot 4 + \frac{{(4)}^{2} + 13}{2}$

Этап 2.11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = - 3 \cdot 4 + \frac{16 + 13}{2}$

Этап 2.11.2.2

Добавим $16$ и $13$ .

$f (4) = - 3 \cdot 4 + \frac{29}{2}$

Этап 2.11.2.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (4) = - 12 + \frac{29}{2}$

Этап 2.11.3

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = - 12 \cdot \frac{2}{2} + \frac{29}{2}$

Этап 2.11.4

Объединим $- 12$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{- 12 \cdot 2}{2} + \frac{29}{2}$

Этап 2.11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = \frac{- 12 \cdot 2 + 29}{2}$

Этап 2.11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.6.1

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f (4) = \frac{- 24 + 29}{2}$

Этап 2.11.6.2

Добавим $- 24$ и $29$ .

$f (4) = \frac{5}{2}$

Этап 2.11.7

Окончательный ответ: $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 4$ равно $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4 \\ 2 & \frac{5}{2} \\ 3 & 2 \\ 4 & \frac{5}{2} \\ 5 & 4 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(3, 2)$

Фокус: $(3, \frac{5}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{3}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4 \\ 2 & \frac{5}{2} \\ 3 & 2 \\ 4 & \frac{5}{2} \\ 5 & 4 \end{array}$

Этап 4