Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} {(x + 5)}^{2} + 2$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и ${(x + 5)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x + 5)}^{2}}{4} + 2$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 5)}^{2} + 2$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 5$

$k = 2$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 5, 2)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.5.3.2

Упростим путем деления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 1.5.3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 5, 3)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 5$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = 1$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 5, 2)$

Фокус: $(- 5, 3)$

Ось симметрии: $x = - 5$

Директриса: $y = 1$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 5, 2)$

Фокус: $(- 5, 3)$

Ось симметрии: $x = - 5$

Директриса: $y = 1$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{{(- 7)}^{2}}{4} + \frac{5 (- 7)}{2} + \frac{33}{4}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 7) = \frac{{(- 7)}^{2} + 33}{4} + \frac{5 (- 7)}{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f (- 7) = \frac{49 + 33}{4} + \frac{5 (- 7)}{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $49$ и $33$ .

$f (- 7) = \frac{82}{4} + \frac{5 (- 7)}{2}$

Этап 2.2.1.2.3

Умножим $5$ на $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{82}{4} + \frac{- 35}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $82$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $82$ .

$f (- 7) = \frac{2 (41)}{4} + \frac{- 35}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 7) = \frac{2 \cdot 41}{2 \cdot 2} + \frac{- 35}{2}$

Этап 2.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 7) = \frac{2 \cdot 41}{2 \cdot 2} + \frac{- 35}{2}$

Этап 2.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 7) = \frac{41}{2} + \frac{- 35}{2}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 7) = \frac{41}{2} - \frac{35}{2}$

Этап 2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 7) = \frac{41 - 35}{2}$

Этап 2.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Вычтем $35$ из $41$ .

$f (- 7) = \frac{6}{2}$

Этап 2.2.3.2.2

Разделим $6$ на $2$ .

$f (- 7) = 3$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 7$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + \frac{5 (- 6)}{2} + \frac{33}{4}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} + 33}{4} + \frac{5 (- 6)}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f (- 6) = \frac{36 + 33}{4} + \frac{5 (- 6)}{2}$

Этап 2.5.2.2

Добавим $36$ и $33$ .

$f (- 6) = \frac{69}{4} + \frac{5 (- 6)}{2}$

Этап 2.5.2.3

Умножим $5$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{69}{4} + \frac{- 30}{2}$

Этап 2.5.2.4

Разделим $- 30$ на $2$ .

$f (- 6) = \frac{69}{4} - 15$

Этап 2.5.3

Чтобы записать $- 15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 6) = \frac{69}{4} - 15 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.5.4

Объединим $- 15$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 6) = \frac{69}{4} + \frac{- 15 \cdot 4}{4}$

Этап 2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 6) = \frac{69 - 15 \cdot 4}{4}$

Этап 2.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Умножим $- 15$ на $4$ .

$f (- 6) = \frac{69 - 60}{4}$

Этап 2.5.6.2

Вычтем $60$ из $69$ .

$f (- 6) = \frac{9}{4}$

Этап 2.5.7

Окончательный ответ: $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 6$ равно $\frac{9}{4}$ .

$y = \frac{9}{4}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{5 (- 3)}{2} + \frac{33}{4}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2} + 33}{4} + \frac{5 (- 3)}{2}$

Этап 2.8.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 + 33}{4} + \frac{5 (- 3)}{2}$

Этап 2.8.1.2.2

Добавим $9$ и $33$ .

$f (- 3) = \frac{42}{4} + \frac{5 (- 3)}{2}$

Этап 2.8.1.2.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{42}{4} + \frac{- 15}{2}$

Этап 2.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Сократим общий множитель $42$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$f (- 3) = \frac{2 (21)}{4} + \frac{- 15}{2}$

Этап 2.8.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 2} + \frac{- 15}{2}$

Этап 2.8.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 2} + \frac{- 15}{2}$

Этап 2.8.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 3) = \frac{21}{2} + \frac{- 15}{2}$

Этап 2.8.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = \frac{21}{2} - \frac{15}{2}$

Этап 2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{21 - 15}{2}$

Этап 2.8.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.1

Вычтем $15$ из $21$ .

$f (- 3) = \frac{6}{2}$

Этап 2.8.3.2.2

Разделим $6$ на $2$ .

$f (- 3) = 3$

Этап 2.8.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} + \frac{5 (- 4)}{2} + \frac{33}{4}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2} + 33}{4} + \frac{5 (- 4)}{2}$

Этап 2.11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = \frac{16 + 33}{4} + \frac{5 (- 4)}{2}$

Этап 2.11.2.2

Добавим $16$ и $33$ .

$f (- 4) = \frac{49}{4} + \frac{5 (- 4)}{2}$

Этап 2.11.2.3

Умножим $5$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{49}{4} + \frac{- 20}{2}$

Этап 2.11.2.4

Разделим $- 20$ на $2$ .

$f (- 4) = \frac{49}{4} - 10$

Этап 2.11.3

Чтобы записать $- 10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{49}{4} - 10 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.11.4

Объединим $- 10$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{49}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4}$

Этап 2.11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = \frac{49 - 10 \cdot 4}{4}$

Этап 2.11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.6.1

Умножим $- 10$ на $4$ .

$f (- 4) = \frac{49 - 40}{4}$

Этап 2.11.6.2

Вычтем $40$ из $49$ .

$f (- 4) = \frac{9}{4}$

Этап 2.11.7

Окончательный ответ: $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = - 4$ равно $\frac{9}{4}$ .

$y = \frac{9}{4}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 3 \\ - 6 & \frac{9}{4} \\ - 5 & 2 \\ - 4 & \frac{9}{4} \\ - 3 & 3 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 5, 2)$

Фокус: $(- 5, 3)$

Ось симметрии: $x = - 5$

Директриса: $y = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 3 \\ - 6 & \frac{9}{4} \\ - 5 & 2 \\ - 4 & \frac{9}{4} \\ - 3 & 3 \end{array}$

Этап 4