Алгебра Примеры

$\frac{x^{2}}{x - 3} = \frac{x + 2}{2 x - 5}$

Этап 1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $x^{2} (2 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2.1.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2.1.2.2.2

Перенесем $- 5$ влево от $x^{2}$ .

$2 x^{2} x - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 2} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{3} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

$2 x^{3} - 5 x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Этап 2.2

Упростим $(x - 3) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(x - 3) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x (x + 2) - 3 (x + 2)$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Этап 2.2.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 x - 3 x - 6$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} - x - 6$

Этап 2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} = - x - 6$

Этап 2.3.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} + x = - 6$

Этап 2.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $- 5 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x = - 6$

Этап 2.4

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6 = 0$

Этап 2.5

Разложим $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 2.5.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Этап 2.5.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Этап 2.5.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Этап 2.5.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 6 \cdot 4 + 2 + 6$

Этап 2.5.3.5

Умножим $- 6$ на $4$ .

$16 - 24 + 2 + 6$

Этап 2.5.3.6

Вычтем $24$ из $16$ .

$- 8 + 2 + 6$

Этап 2.5.3.7

Добавим $- 8$ и $2$ .

$- 6 + 6$

Этап 2.5.3.8

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 2.5.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6}{x - 2}$

Этап 2.5.5

Разделим $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$6$

Этап 2.5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Этап 2.5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 2.5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 2.5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 2.5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 2.5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 2.5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$

Этап 2.5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Этап 2.5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Этап 2.5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

Этап 2.5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x + 6$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

Этап 2.5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$
										$0$

Этап 2.5.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 2 x - 3$

Этап 2.5.6

Запишем $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 2.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.8

Приравняем $2 x^{2} - 2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Приравняем $2 x^{2} - 2 x - 3$ к $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 2.8.2

Решим $2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.8.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 2$ и $c = - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 3)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.3.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.3.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$

Этап 2.8.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

Этап 2.8.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Этап 2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$ верно.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 2, 1.82287565 \dots, - 0.82287565 \dots$