Алгебра Примеры

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - h)}^{2}$ в виде $(x - h) (x - h)$ .

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Этап 1.2

Развернем $(x - h) (x - h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Этап 1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Этап 1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h \cdot h) + k$

Этап 1.3.1.4

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Перенесем $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) + k$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h^{2}) + k$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Этап 1.3.1.6

Умножим $h^{2}$ на $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Этап 1.3.2

Вычтем $h x$ из $- x h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $h x$ из $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Этап 1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Этап 2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k = f (x)$

Этап 3

Вычтем $f (x)$ из обеих частей уравнения.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k - f (x) = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = a$ , $b = - 2 a h$ и $c = a h^{2} + k - f (x)$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a h)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 (a h))}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Этап 6.1.2

Пусть $u = a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ . Подставим $u$ вместо $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Применим правило умножения к $- 2 a h$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a)}^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Этап 6.1.2.1.2

Применим правило умножения к $- 2 a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} a^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Этап 6.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 4 u}}{2 a}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 a^{2} h^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 4 u}}{2 a}$

Этап 6.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)}}{2 a}$

Этап 6.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - u)}}{2 a}$

Этап 6.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot (a h^{2} + k - f (x))))}}{2 a}$

Этап 6.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a (a h^{2}) + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Этап 6.1.5.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1.2.1

Перенесем $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot a h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Этап 6.1.5.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Этап 6.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2}) - (a k) - (a (- f (x))))}}{2 a}$

Этап 6.1.5.1.4

Умножим $- (a (- f (x)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + 1 (a (f (x))))}}{2 a}$

Этап 6.1.5.1.4.2

Умножим $a$ на $1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + a f (x))}}{2 a}$

Этап 6.1.5.2

Вычтем $a^{2} h^{2}$ из $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (0 - a k + a f (x))}}{2 a}$

Этап 6.1.5.3

Вычтем $a k$ из $0$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (- a k + a f (x))}}{2 a}$

Этап 6.1.6

Вынесем множитель $a$ из $- a k + a f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Вынесем множитель $a$ из $- a k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a f (x))}}{2 a}$

Этап 6.1.6.2

Вынесем множитель $a$ из $a f (x)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a (f (x)))}}{2 a}$

Этап 6.1.6.3

Вынесем множитель $a$ из $a (- 1 k) + a (f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k + f (x)))}}{2 a}$

Этап 6.1.7

Перепишем $- 1 k$ в виде $- k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a (- k + f (x))}}{2 a}$

Этап 6.1.8

Перепишем $4 a (- k + f (x))$ в виде $2^{2} (a (- k + f (x)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} a (- k + f (x))}}{2 a}$

Этап 6.1.8.2

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} (a (- k + f (x)))}}{2 a}$

Этап 6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$

Этап 6.2

Упростим $\frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$ .

$x = \frac{a h \pm \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{a h + \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}, \frac{a h - \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$