Алгебра Примеры

$g (x) = \frac{1}{3} {(x - 6)}^{2} + 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 6)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x - 6)}^{2}}{3} + 1$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{3} \cdot {(x - 6)}^{2} + 1$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 6$

$k = 1$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(6, 1)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Этап 1.5.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{3}{4})$

Этап 1.5.3.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(6, \frac{7}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 6$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{1}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(6, 1)$

Фокус: $(6, \frac{7}{4})$

Ось симметрии: $x = 6$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(6, 1)$

Фокус: $(6, \frac{7}{4})$

Ось симметрии: $x = 6$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{3} - 4 \cdot 5 + 13$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = \frac{25}{3} - 4 \cdot 5 + 13$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$f (5) = \frac{25}{3} - 20 + 13$

Этап 2.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Запишем $- 20$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20}{1} + 13$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{- 20}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Этап 2.2.2.3

Умножим $\frac{- 20}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + 13$

Этап 2.2.2.4

Запишем $13$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Этап 2.2.2.5

Умножим $\frac{13}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.2.2.6

Умножим $\frac{13}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = \frac{25 - 20 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $- 20$ на $3$ .

$f (5) = \frac{25 - 60 + 13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $13$ на $3$ .

$f (5) = \frac{25 - 60 + 39}{3}$

Этап 2.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вычтем $60$ из $25$ .

$f (5) = \frac{- 35 + 39}{3}$

Этап 2.2.5.2

Добавим $- 35$ и $39$ .

$f (5) = \frac{4}{3}$

Этап 2.2.6

Окончательный ответ: $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 5$ равно $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{3} - 4 \cdot 4 + 13$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = \frac{16}{3} - 4 \cdot 4 + 13$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$f (4) = \frac{16}{3} - 16 + 13$

Этап 2.5.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Запишем $- 16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16}{1} + 13$

Этап 2.5.2.2

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Этап 2.5.2.3

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + 13$

Этап 2.5.2.4

Запишем $13$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Этап 2.5.2.5

Умножим $\frac{13}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.5.2.6

Умножим $\frac{13}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = \frac{16 - 16 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $- 16$ на $3$ .

$f (4) = \frac{16 - 48 + 13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $13$ на $3$ .

$f (4) = \frac{16 - 48 + 39}{3}$

Этап 2.5.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Вычтем $48$ из $16$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 39}{3}$

Этап 2.5.5.2

Добавим $- 32$ и $39$ .

$f (4) = \frac{7}{3}$

Этап 2.5.6

Окончательный ответ: $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 4$ равно $\frac{7}{3}$ .

$y = \frac{7}{3}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f (9) = \frac{{(9)}^{2}}{3} - 4 \cdot 9 + 13$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (9) = \frac{81}{3} - 4 \cdot 9 + 13$

Этап 2.8.1.2

Разделим $81$ на $3$ .

$f (9) = 27 - 4 \cdot 9 + 13$

Этап 2.8.1.3

Умножим $- 4$ на $9$ .

$f (9) = 27 - 36 + 13$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $36$ из $27$ .

$f (9) = - 9 + 13$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 9$ и $13$ .

$f (9) = 4$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 9$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = \frac{{(7)}^{2}}{3} - 4 \cdot 7 + 13$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (7) = \frac{49}{3} - 4 \cdot 7 + 13$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 4$ на $7$ .

$f (7) = \frac{49}{3} - 28 + 13$

Этап 2.11.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Запишем $- 28$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28}{1} + 13$

Этап 2.11.2.2

Умножим $\frac{- 28}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Этап 2.11.2.3

Умножим $\frac{- 28}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + 13$

Этап 2.11.2.4

Запишем $13$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Этап 2.11.2.5

Умножим $\frac{13}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.11.2.6

Умножим $\frac{13}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (7) = \frac{49 - 28 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Умножим $- 28$ на $3$ .

$f (7) = \frac{49 - 84 + 13 \cdot 3}{3}$

Этап 2.11.4.2

Умножим $13$ на $3$ .

$f (7) = \frac{49 - 84 + 39}{3}$

Этап 2.11.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1

Вычтем $84$ из $49$ .

$f (7) = \frac{- 35 + 39}{3}$

Этап 2.11.5.2

Добавим $- 35$ и $39$ .

$f (7) = \frac{4}{3}$

Этап 2.11.6

Окончательный ответ: $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 7$ равно $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{7}{3} \\ 5 & \frac{4}{3} \\ 6 & 1 \\ 7 & \frac{4}{3} \\ 9 & 4 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(6, 1)$

Фокус: $(6, \frac{7}{4})$

Ось симметрии: $x = 6$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{7}{3} \\ 5 & \frac{4}{3} \\ 6 & 1 \\ 7 & \frac{4}{3} \\ 9 & 4 \end{array}$

Этап 4