Алгебра Примеры

$- 3 + 3 x^{5}$

Этап 1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 + 3 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок $- 3$ и $3 x^{5}$ .

$3 x^{5} - 3$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $3 x^{5}$ .

$- 3 (- x^{5}) - 3$

Этап 1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$- 3 (- x^{5}) - 3 (1)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (- x^{5}) - 3 (1)$ .

$- 3 (- x^{5} + 1)$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $- x^{5} + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 2.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 1^{5} + 1$

Этап 2.1.3.2

Возведем $1$ в степень $5$ .

$- 1 \cdot 1 + 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 1$

Этап 2.1.3.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{5} + 1}{x - 1}$

Этап 2.1.5

Разделим $- x^{5} + 1$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{5} + x^{4}$ .

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{4} + x^{3}$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + x^{2}$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 2.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Этап 2.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Этап 2.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Этап 2.1.5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

Этап 2.1.5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

Этап 2.1.5.23

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

Этап 2.1.5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 1$ .

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

Этап 2.1.5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$0$

Этап 2.1.5.26

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1$

Этап 2.1.6

Запишем $- x^{5} + 1$ в виде набора множителей.

$- 3 ((x - 1) (- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x - 1) (- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1)$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - x^{3} - x^{2} - x - 1)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - x^{2} - x - 1)$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - x - 1)$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1)$

Этап 3.1.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4}) - (x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4}) - (x^{3})$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3}) - (x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Этап 3.1.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4} + x^{3}) - (x^{2})$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2}) - (x) - 1 (1))$

Этап 3.1.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4} + x^{3} + x^{2}) - (x)$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x) - 1 (1))$

Этап 3.1.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x) - 1 (1)$ .

$- 3 (x - 1) (- (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x - 1) \cdot - 1 (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$

Этап 4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- (- 3 (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Этап 4.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$3 ((x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1))$

Этап 5

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$