Алгебра Примеры

$\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)$

Этап 1.3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)$

Этап 1.3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)$

Этап 1.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)$

Этап 1.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)$

Этап 1.3.8.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)$

Этап 1.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)$

Этап 1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1$

Этап 1.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Этап 1.3.12

Умножим $\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.3.13

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.1.2

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}}))$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))))$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (1)))))$

Этап 2.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.8

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.10

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.12.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.14

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1))$

Этап 2.2.15

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1))$

Этап 2.2.16

Умножим $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.17

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2.18

Объединим $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2.19

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2.20

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.20.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})})$

Этап 2.2.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}})$

Этап 2.2.20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}})$

Этап 2.2.20.4

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}})$

Этап 2.2.21

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 2.2.22

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.3

Вычтем $\frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ из $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Этап 4.1.3.1.2

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Этап 4.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Этап 4.1.3.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Этап 4.1.3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Этап 4.1.3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 4.1.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 4.1.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Этап 4.1.3.8.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Этап 4.1.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Этап 4.1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1$

Этап 4.1.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Этап 4.1.3.12

Умножим $\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 4.1.3.13

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $\frac{2}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}, 3$

Этап 5.3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.3.3

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 5.3.4

НОК $3, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 5.3.5

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 5.3.6

НОК ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3.7

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.4

Каждый член в $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$ умножим на $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$ на $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$2 = \frac{- 2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$2 = \frac{- 2}{3} (3 ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}}))$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель.

$2 = \frac{- 2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.4.3.1.4

Перепишем это выражение.

$2 = - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Разделим $2$ на $- 2$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 5.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4.1.1.2

Упростим.

$x + 1 = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x + 1 = - 1$

Этап 5.5.5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1 - 1$

Этап 5.5.5.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$x = - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 1}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x + 1} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x + 1})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 (x + 1) = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$27 x + 27 \cdot 1 = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.6

Умножим $27$ на $1$ .

$27 x + 27 = 0^{3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x + 27 = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$27 x = - 27$

Этап 6.3.3.2

Разделим каждый член $27 x = - 27$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Разделим каждый член $27 x = - 27$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 27}{27}$

Этап 6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 27}{27}$

Этап 6.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 27}{27}$

Этап 6.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1

Разделим $- 27$ на $27$ .

$x = - 1$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 2, - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2}{9 {((- 2) + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{4}}$

Этап 9.1.5

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 1}$

Этап 9.2

Умножим $9$ на $1$ .

$- \frac{2}{9}$

Этап 10

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{2 (- 2)}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.2.3

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 11.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 11.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2}$

Этап 11.2.2.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + 1$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 11.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{- 4 + 3}{3}$

Этап 11.2.3.3

Добавим $- 4$ и $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{3}$

Этап 11.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{1}{3}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2}{9 {((- 1) + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Этап 13.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 13.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Этап 13.3.2

Умножим $9$ на $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Этап 13.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{2}{0}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((- 4) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.2.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $- 1.5$ , из интервала $(- 2, - 1)$ в первую производную $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((- 1.5) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Добавим $- 1.5$ и $1$ .

$f' (- 1.5) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- 1, \infty)$ в первую производную $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((0) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4.2.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \cdot 1}$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 14.4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (0) = \frac{2 + 2}{3}$

Этап 14.4.2.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (0) = \frac{4}{3}$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 2$ , $x = - 2$ — локальный максимум.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 1$ , $x = - 1$ — локальный минимум.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ — локальный максимум

$x = - 1$ — локальный минимум

$x = - 2$ — локальный максимум

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 15