Алгебра Примеры

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 3$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 1) (x - 1)) + 3$

Этап 1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 3$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 3$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Этап 1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 3$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - x + 1) + 3$

Этап 1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) + 3$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Этап 1.5.2.3

Сократим общий множитель.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Этап 1.5.2.4

Перепишем это выражение.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 x - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Этап 1.5.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Этап 1.5.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + 3$

Этап 2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 1 + 6}{2}$

Этап 5.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{5}{2}$

Этап 6

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 7

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (- 0.5)}$

Этап 7.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{1}{2 (- 0.5)}$

Этап 7.3

Упростим $- \frac{1}{2 (- 0.5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $- 0.5$ .

$x = - \frac{1}{- 1}$

Этап 7.3.2

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - - 1$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 8

Найдем значение $f (1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{5}{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{5}{2}$

Этап 8.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = 1 + \frac{- {(1)}^{2} + 5}{2}$

Этап 8.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + \frac{- 1 \cdot 1 + 5}{2}$

Этап 8.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{- 1 + 5}{2}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Добавим $- 1$ и $5$ .

$f (1) = 1 + \frac{4}{2}$

Этап 8.2.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$f (1) = 1 + 2$

Этап 8.2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = 3$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 9

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(1, 3)$

Этап 10