Алгебра Примеры

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x^{2}$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $23$ является константой относительно $x$ , производная $23 x$ по $x$ равна $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.3.3

Умножим $23$ на $1$ .

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.4

Поскольку $- 216$ является константой относительно $x$ , производная $- 216$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $2600$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2600}{x}$ по $x$ равна $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.5.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Этап 1.5.4

Умножим $- 1$ на $2600$ .

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Добавим $x + 23$ и $0$ .

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.6.2.2

Объединим $- 2600$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Этап 1.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Этап 1.6.3

Изменим порядок членов.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2600$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2600}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.2.10

Умножим $- 2$ на $- 2600$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

Этап 2.3

Поскольку $23$ является константой относительно $x$ , производная $23$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $5200$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x^{2}$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $0.5$ .

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $23$ является константой относительно $x$ , производная $23 x$ по $x$ равна $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $23$ на $1$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 216$ является константой относительно $x$ , производная $- 216$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $2600$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2600}{x}$ по $x$ равна $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 4.1.5.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 4.1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Этап 4.1.5.4

Умножим $- 1$ на $2600$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Добавим $x + 23$ и $0$ .

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.1.6.2.2

Объединим $- 2600$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Этап 4.1.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Этап 4.1.6.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 9.01216529$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{2600}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 9.01216529$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 9.01216529$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $9.01216529$ в степень $3$ .

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

Этап 9.1.2

Разделим $5200$ на $731.96016423$ .

$7.10421175 + 1$

Этап 9.2

Добавим $7.10421175$ и $1$ .

$8.10421175$

Этап 10

$x = 9.01216529$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 9.01216529$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 9.01216529$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $9.01216529$ в степень $2$ .

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $0.5$ на $81.21912329$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Этап 11.2.1.3

Умножим $23$ на $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Этап 11.2.1.4

Разделим $2600$ на $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $40.60956164$ и $207.27980177$ .

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $216$ из $247.88936342$ .

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

Этап 11.2.2.3

Добавим $31.88936342$ и $288.49892506$ .

$f (9.01216529) = 320.38828848$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $320.38828848$ .

$y = 320.38828848$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ .

$(9.01216529, 320.38828848)$ — локальный минимум

Этап 13