Алгебра Примеры

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4 x^{2} - x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 8 x - 1$ и $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 8 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x - 8$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 8$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 8 x - 1$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 8 x - 1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 8 x - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 8$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.3

Добавим $64$ и $12$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.3

Добавим $64$ и $12$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.3

Добавим $64$ и $12$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) - 8$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{4 + \sqrt{19}}{3} - 8$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{4 + \sqrt{19}}{3} - 8$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 (4 + \sqrt{19}) - 8$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 4 + 2 \sqrt{19} - 8$

Этап 9.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 + 2 \sqrt{19} - 8$

Этап 9.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Этап 10

$x = \frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Запишем ${(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3}}{1} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 11.2.1.3

Умножим $\frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 11.2.1.4

Запишем $- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2}}{1} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 11.2.1.5

Умножим $\frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 11.2.1.6

Умножим $\frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 11.2.1.7

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + \frac{3}{1}$

Этап 11.2.1.8

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.1.9

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{19})}^{3}}{27} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{19})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{19})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.5.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (16 \sqrt{19}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.3

Умножим $3$ на $16$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 3 \cdot (4 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.4

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 12 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.5

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 12 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.6

Умножим $12$ на $19$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 228 + {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.7

Перепишем ${\sqrt{19}}^{3}$ в виде $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 228 + \sqrt{19^{3}}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.8

Возведем $19$ в степень $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 228 + \sqrt{6859}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.9

Перепишем $6859$ в виде $19^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.5.9.1

Вынесем множитель $361$ из $6859$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 228 + \sqrt{361 (19)}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.9.2

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 228 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.5.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{19} + 228 + 19 \sqrt{19}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.6

Добавим $64$ и $228$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 48 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.7

Добавим $48 \sqrt{19}$ и $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.8

Применим правило умножения к $\frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{19})}^{2}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.10

Перепишем ${(4 + \sqrt{19})}^{2}$ в виде $(4 + \sqrt{19}) (4 + \sqrt{19})$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{(4 + \sqrt{19}) (4 + \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.11

Развернем $(4 + \sqrt{19}) (4 + \sqrt{19})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{4 (4 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (4 + \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{19} + \sqrt{19} (4 + \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 4 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 4 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.12.1.2

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{19} + 4 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.12.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.12.1.4

Умножим $19$ на $19$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.12.1.5

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.12.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 19}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.12.2

Добавим $16$ и $19$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{35 + 4 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.12.3

Добавим $4 \sqrt{19}$ и $4 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{35 + 8 \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.13

Объединим $- 4$ и $\frac{35 + 8 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 (35 + 8 \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.14

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.14.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3 (3)} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.14.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3 \cdot 3} \cdot 3 - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.14.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3} - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3} - (4 + \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3} - 1 \cdot 4 - \sqrt{19} + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.17

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3} - 4 - \sqrt{19} + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.18

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.4

Чтобы записать $- \frac{4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3} \cdot \frac{3}{3} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $\frac{4 (35 + 8 \sqrt{19})}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 + 8 \sqrt{19}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 + 8 \sqrt{19}) \cdot 3}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19} - 4 (35 + 8 \sqrt{19}) \cdot 3}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19} + (- 4 \cdot 35 - 4 (8 \sqrt{19})) \cdot 3}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.7.2

Умножим $- 4$ на $35$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19} + (- 140 - 4 (8 \sqrt{19})) \cdot 3}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.7.3

Умножим $8$ на $- 4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19} + (- 140 - 32 \sqrt{19}) \cdot 3}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19} - 140 \cdot 3 - 32 \sqrt{19} \cdot 3}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.7.5

Умножим $- 140$ на $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19} - 420 - 32 \sqrt{19} \cdot 3}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.7.6

Умножим $3$ на $- 32$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 + 67 \sqrt{19} - 420 - 96 \sqrt{19}}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.7.7

Вычтем $420$ из $292$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 67 \sqrt{19} - 96 \sqrt{19}}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.7.8

Вычтем $96 \sqrt{19}$ из $67 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 29 \sqrt{19}}{9} - 4 - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.8

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 29 \sqrt{19}}{9} - 4 \cdot \frac{9}{9} - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.9

Объединим $- 4$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 29 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 \cdot 9}{9} - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 29 \sqrt{19} - 4 \cdot 9}{9} - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.10.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 29 \sqrt{19} - 36}{9} - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.10.3

Вычтем $36$ из $- 128$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 29 \sqrt{19}}{9} - \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 11.2.11

Чтобы записать $- \sqrt{19}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 29 \sqrt{19}}{9} - \sqrt{19} \cdot \frac{9}{9} + 9}{3}$

Этап 11.2.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.12.1

Объединим $- \sqrt{19}$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 29 \sqrt{19}}{9} + \frac{- \sqrt{19} \cdot 9}{9} + 9}{3}$

Этап 11.2.12.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 29 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 9}{9} + 9}{3}$

Этап 11.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 29 \sqrt{19} - 9 \sqrt{19}}{9} + 9}{3}$

Этап 11.2.13.2

Вычтем $9 \sqrt{19}$ из $- 29 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 38 \sqrt{19}}{9} + 9}{3}$

Этап 11.2.14

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 38 \sqrt{19}}{9} + 9 \cdot \frac{9}{9}}{3}$

Этап 11.2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.15.1

Объединим $9$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 38 \sqrt{19}}{9} + \frac{9 \cdot 9}{9}}{3}$

Этап 11.2.15.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 38 \sqrt{19} + 9 \cdot 9}{9}}{3}$

Этап 11.2.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.16.1

Умножим $9$ на $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 - 38 \sqrt{19} + 81}{9}}{3}$

Этап 11.2.16.2

Добавим $- 164$ и $81$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 83 - 38 \sqrt{19}}{9}}{3}$

Этап 11.2.17

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.17.1

Перепишем $- 83$ в виде $- 1 (83)$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 83 - 38 \sqrt{19}}{9}}{3}$

Этап 11.2.17.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 83 - (38 \sqrt{19})}{9}}{3}$

Этап 11.2.17.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (83) - (38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (83 + 38 \sqrt{19})}{9}}{3}$

Этап 11.2.17.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- \frac{83 + 38 \sqrt{19}}{9}}{3}$

Этап 11.2.18

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{83 + 38 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 11.2.19

Умножим $- \frac{83 + 38 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.19.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{83 + 38 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{83 + 38 \sqrt{19}}{3 \cdot 9}$

Этап 11.2.19.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{83 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 11.2.20

Окончательный ответ: $- \frac{83 + 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{83 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) - 8$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{4 - \sqrt{19}}{3} - 8$

Этап 13.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{4 - \sqrt{19}}{3} - 8$

Этап 13.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 (4 - \sqrt{19}) - 8$

Этап 13.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 4 + 2 (- \sqrt{19}) - 8$

Этап 13.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 + 2 (- \sqrt{19}) - 8$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 - 2 \sqrt{19} - 8$

Этап 13.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Этап 13.2.2

Вычтем $2 \sqrt{19}$ из $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Этап 14

$x = \frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Запишем ${(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3}}{1} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 15.2.1.2

Умножим $\frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 15.2.1.3

Умножим $\frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 15.2.1.4

Запишем $- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2}}{1} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 15.2.1.5

Умножим $\frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 15.2.1.6

Умножим $\frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + 3$

Этап 15.2.1.7

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + \frac{3}{1}$

Этап 15.2.1.8

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.1.9

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{3} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{19})}^{3}}{27} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{19})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{19})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.5.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (16 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.3

Умножим $3$ на $16$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.5

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.8

Умножим ${\sqrt{19}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.9

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.5.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.5.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 12 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.10

Умножим $12$ на $19$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 - {\sqrt{19}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.13

Перепишем ${\sqrt{19}}^{3}$ в виде $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 - \sqrt{19^{3}}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.14

Возведем $19$ в степень $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 - \sqrt{6859}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.15

Перепишем $6859$ в виде $19^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.5.15.1

Вынесем множитель $361$ из $6859$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 - \sqrt{361 (19)}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.15.2

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 - (19 \sqrt{19})}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.5.17

Умножим $19$ на $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{19} + 228 - 19 \sqrt{19}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.6

Добавим $64$ и $228$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 48 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.7

Вычтем $19 \sqrt{19}$ из $- 48 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{19}}{3})}^{2} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.8

Применим правило умножения к $\frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{19})}^{2}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.10

Перепишем ${(4 - \sqrt{19})}^{2}$ в виде $(4 - \sqrt{19}) (4 - \sqrt{19})$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{(4 - \sqrt{19}) (4 - \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.11

Развернем $(4 - \sqrt{19}) (4 - \sqrt{19})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{4 (4 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (4 - \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (4 - \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 4 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.12.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 + 4 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 4 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 4 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.4

Умножим $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.12.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.4.2

Умножим $\sqrt{19}$ на $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.4.3

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.4.4

Возведем $\sqrt{19}$ в степень $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.5

Перепишем ${\sqrt{19}}^{2}$ в виде $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.12.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{19}$ в виде $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.12.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 19}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 19}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.2

Добавим $16$ и $19$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{35 - 4 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.12.3

Вычтем $4 \sqrt{19}$ из $- 4 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - 4 \frac{35 - 8 \sqrt{19}}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.13

Объединим $- 4$ и $\frac{35 - 8 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 (35 - 8 \sqrt{19})}{9} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.14

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.14.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3 (3)} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.14.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3 \cdot 3} \cdot 3 - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.14.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3} - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3} - (4 - \sqrt{19}) + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3} - 1 \cdot 4 + \sqrt{19} + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.17

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3} - 4 + \sqrt{19} + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.18

Умножим $- - \sqrt{19}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.18.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3} - 4 + 1 \sqrt{19} + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.18.2

Умножим $\sqrt{19}$ на $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3} - 4 + \sqrt{19} + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3.19

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.4

Чтобы записать $- \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3} \cdot \frac{3}{3} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $\frac{4 (35 - 8 \sqrt{19})}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19}}{9} - \frac{4 (35 - 8 \sqrt{19}) \cdot 3}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19} - 4 (35 - 8 \sqrt{19}) \cdot 3}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19} + (- 4 \cdot 35 - 4 (- 8 \sqrt{19})) \cdot 3}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.7.2

Умножим $- 4$ на $35$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19} + (- 140 - 4 (- 8 \sqrt{19})) \cdot 3}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.7.3

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19} + (- 140 + 32 \sqrt{19}) \cdot 3}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19} - 140 \cdot 3 + 32 \sqrt{19} \cdot 3}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.7.5

Умножим $- 140$ на $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19} - 420 + 32 \sqrt{19} \cdot 3}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.7.6

Умножим $3$ на $32$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{292 - 67 \sqrt{19} - 420 + 96 \sqrt{19}}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.7.7

Вычтем $420$ из $292$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 67 \sqrt{19} + 96 \sqrt{19}}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.7.8

Добавим $- 67 \sqrt{19}$ и $96 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 29 \sqrt{19}}{9} - 4 + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.8

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 29 \sqrt{19}}{9} - 4 \cdot \frac{9}{9} + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.9

Объединим $- 4$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 29 \sqrt{19}}{9} + \frac{- 4 \cdot 9}{9} + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 29 \sqrt{19} - 4 \cdot 9}{9} + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.10.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 29 \sqrt{19} - 36}{9} + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.10.3

Вычтем $36$ из $- 128$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 29 \sqrt{19}}{9} + \sqrt{19} + 9}{3}$

Этап 15.2.11

Чтобы записать $\sqrt{19}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 29 \sqrt{19}}{9} + \sqrt{19} \cdot \frac{9}{9} + 9}{3}$

Этап 15.2.12

Объединим $\sqrt{19}$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 29 \sqrt{19}}{9} + \frac{\sqrt{19} \cdot 9}{9} + 9}{3}$

Этап 15.2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.13.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 29 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 9}{9} + 9}{3}$

Этап 15.2.13.2

Изменим порядок множителей в $\sqrt{19} \cdot 9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 29 \sqrt{19} + 9 \sqrt{19}}{9} + 9}{3}$

Этап 15.2.14

Добавим $29 \sqrt{19}$ и $9 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 38 \sqrt{19}}{9} + 9}{3}$

Этап 15.2.15

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 38 \sqrt{19}}{9} + 9 \cdot \frac{9}{9}}{3}$

Этап 15.2.16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.16.1

Объединим $9$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 38 \sqrt{19}}{9} + \frac{9 \cdot 9}{9}}{3}$

Этап 15.2.16.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 38 \sqrt{19} + 9 \cdot 9}{9}}{3}$

Этап 15.2.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.17.1

Умножим $9$ на $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 164 + 38 \sqrt{19} + 81}{9}}{3}$

Этап 15.2.17.2

Добавим $- 164$ и $81$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 83 + 38 \sqrt{19}}{9}}{3}$

Этап 15.2.18

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.18.1

Перепишем $- 83$ в виде $- 1 (83)$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 83 + 38 \sqrt{19}}{9}}{3}$

Этап 15.2.18.2

Вынесем множитель $- 1$ из $38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 83 - (- 38 \sqrt{19})}{9}}{3}$

Этап 15.2.18.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (83) - (- 38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (83 - 38 \sqrt{19})}{9}}{3}$

Этап 15.2.18.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- \frac{83 - 38 \sqrt{19}}{9}}{3}$

Этап 15.2.19

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{83 - 38 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 15.2.20

Умножим $- \frac{83 - 38 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.20.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{83 - 38 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{83 - 38 \sqrt{19}}{3 \cdot 9}$

Этап 15.2.20.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{83 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 15.2.21

Окончательный ответ: $- \frac{83 - 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{83 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - x + 3$ .

$(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, - \frac{83 + 38 \sqrt{19}}{27})$ — локальный минимум

$(\frac{4 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{83 - 38 \sqrt{19}}{27})$ — локальный максимум

Этап 17