Алгебра Примеры

$x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 8 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 8$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 8$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 8 x - 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 8 x - 2$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = 8$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.3

Добавим $64$ и $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $88$ в виде $2^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.3

Добавим $64$ и $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $88$ в виде $2^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 4 + \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.5.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{22}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 1 (- \sqrt{22})}{3}$

Этап 5.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - 1 (- \sqrt{22})$ .

$x = \frac{- 1 (4 - \sqrt{22})}{3}$

Этап 5.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.3

Добавим $64$ и $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $88$ в виде $2^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 4 - \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.6.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{22}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (\sqrt{22})}{3}$

Этап 5.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - (\sqrt{22})$ .

$x = \frac{- 1 (4 + \sqrt{22})}{3}$

Этап 5.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) + 8$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ в числитель.

$6 \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

Этап 9.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

Этап 9.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

Этап 9.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 (- (4 - \sqrt{22})) + 8$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (4 - \sqrt{22}) + 8$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 4 - 2 (- \sqrt{22}) + 8$

Этап 9.1.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 8 - 2 (- \sqrt{22}) + 8$

Этап 9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 8 + 2 \sqrt{22} + 8$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0 + 2 \sqrt{22}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{22}$ .

$2 \sqrt{22}$

Этап 10

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (16 (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.3

Умножим $3$ на $16$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 (- \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.5

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {(- \sqrt{22})}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{22}}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 (1 {\sqrt{22}}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.8

Умножим ${\sqrt{22}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {\sqrt{22}}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.9

Перепишем ${\sqrt{22}}^{2}$ в виде $22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{22}$ в виде $22^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {(22^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.9.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.10

Умножим $12$ на $22$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.13

Перепишем ${\sqrt{22}}^{3}$ в виде $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{22^{3}}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.14

Возведем $22$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{10648}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.15

Перепишем $10648$ в виде $22^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.15.1

Вынесем множитель $484$ из $10648$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{484 (22)}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.15.2

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{22^{2} \cdot 22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - (22 \sqrt{22})}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.5.17

Умножим $22$ на $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.6

Добавим $64$ и $264$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 48 \sqrt{22} - 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.7

Вычтем $22 \sqrt{22}$ из $- 48 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (1 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.10

Умножим $\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.12

Перепишем ${(4 - \sqrt{22})}^{2}$ в виде $(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.13

Развернем $(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 (4 - \sqrt{22}) - \sqrt{22} (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.4

Умножим $- \sqrt{22} (- \sqrt{22})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 1 \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.4.2

Умножим $\sqrt{22}$ на $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.4.3

Возведем $\sqrt{22}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.4.4

Возведем $\sqrt{22}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {\sqrt{22}}^{1 + 1}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {\sqrt{22}}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.5

Перепишем ${\sqrt{22}}^{2}$ в виде $22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{22}$ в виде $22^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{2}{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{2}{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.2

Добавим $16$ и $22$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.14.3

Вычтем $4 \sqrt{22}$ из $- 4 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 - 8 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.15

Объединим $4$ и $\frac{38 - 8 \sqrt{22}}{9}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.16

Умножим $- 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.16.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} + 2 (\frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

Этап 11.2.1.16.2

Объединим $2$ и $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 11.2.2.5

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 11.2.2.6

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 11.2.2.7

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- (328 - 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 328 - (- 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 1$ на $328$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - (- 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $- 70$ на $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (4 \cdot 38 + 4 (- 8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.5

Умножим $4$ на $38$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (152 + 4 (- 8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.6

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (152 - 32 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 152 \cdot 3 - 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.8

Умножим $152$ на $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.9

Умножим $3$ на $- 32$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (2 \cdot 4 + 2 (- \sqrt{22})) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.11

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (8 + 2 (- \sqrt{22})) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (8 - 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.13

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 8 \cdot 9 - 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.14

Умножим $8$ на $9$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 72 - 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

Этап 11.2.4.15

Умножим $9$ на $- 2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 72 - 18 \sqrt{22}}{27}$

Этап 11.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Добавим $- 328$ и $456$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{128 + 70 \sqrt{22} - 96 \sqrt{22} + 72 - 18 \sqrt{22}}{27}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $128$ и $72$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 70 \sqrt{22} - 96 \sqrt{22} - 18 \sqrt{22}}{27}$

Этап 11.2.5.3

Вычтем $96 \sqrt{22}$ из $70 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 26 \sqrt{22} - 18 \sqrt{22}}{27}$

Этап 11.2.5.4

Вычтем $18 \sqrt{22}$ из $- 26 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$ .

$y = \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) + 8$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ в числитель.

$6 \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

Этап 13.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

Этап 13.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

Этап 13.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 (- (4 + \sqrt{22})) + 8$

Этап 13.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (4 + \sqrt{22}) + 8$

Этап 13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 4 - 2 \sqrt{22} + 8$

Этап 13.1.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 8 - 2 \sqrt{22} + 8$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0 - 2 \sqrt{22}$

Этап 13.2.2

Вычтем $2 \sqrt{22}$ из $0$ .

$- 2 \sqrt{22}$

Этап 14

$x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (16 \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.3

Умножим $3$ на $16$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.4

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 {\sqrt{22}}^{2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.5

Перепишем ${\sqrt{22}}^{2}$ в виде $22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{22}$ в виде $22^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 {(22^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.6

Умножим $12$ на $22$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.7

Перепишем ${\sqrt{22}}^{3}$ в виде $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{22^{3}}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.8

Возведем $22$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{10648}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.9

Перепишем $10648$ в виде $22^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.9.1

Вынесем множитель $484$ из $10648$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{484 (22)}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.9.2

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{22^{2} \cdot 22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.5.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.6

Добавим $64$ и $264$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 48 \sqrt{22} + 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.7

Добавим $48 \sqrt{22}$ и $22 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (1 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.10

Умножим $\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.12

Перепишем ${(4 + \sqrt{22})}^{2}$ в виде $(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.13

Развернем $(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 (4 + \sqrt{22}) + \sqrt{22} (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.14.1.2

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \cdot \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.14.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22 \cdot 22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.14.1.4

Умножим $22$ на $22$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{484}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.14.1.5

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22^{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.14.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.14.2

Добавим $16$ и $22$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.14.3

Добавим $4 \sqrt{22}$ и $4 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 + 8 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.15

Объединим $4$ и $\frac{38 + 8 \sqrt{22}}{9}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.16

Умножим $- 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.16.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} + 2 (\frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 15.2.1.16.2

Объединим $2$ и $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $\frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 15.2.2.4

Умножим $\frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 15.2.2.5

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 15.2.2.6

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 15.2.2.7

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- (328 + 70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 328 - (70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 1$ на $328$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - (70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $70$ на $- 1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (4 \cdot 38 + 4 (8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.5

Умножим $4$ на $38$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (152 + 4 (8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.6

Умножим $8$ на $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (152 + 32 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 152 \cdot 3 + 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.8

Умножим $152$ на $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.9

Умножим $3$ на $32$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + (2 \cdot 4 + 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.11

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + (8 + 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.12

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 8 \cdot 9 + 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.13

Умножим $8$ на $9$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 72 + 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

Этап 15.2.4.14

Умножим $9$ на $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 72 + 18 \sqrt{22}}{27}$

Этап 15.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Добавим $- 328$ и $456$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{128 - 70 \sqrt{22} + 96 \sqrt{22} + 72 + 18 \sqrt{22}}{27}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $128$ и $72$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 70 \sqrt{22} + 96 \sqrt{22} + 18 \sqrt{22}}{27}$

Этап 15.2.5.3

Добавим $- 70 \sqrt{22}$ и $96 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 26 \sqrt{22} + 18 \sqrt{22}}{27}$

Этап 15.2.5.4

Добавим $26 \sqrt{22}$ и $18 \sqrt{22}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$ .

$y = \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

$(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27})$ — локальный минимум

$(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}, \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27})$ — локальный максимум

Этап 17