Алгебра Примеры

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $3 x^{2} + 8 x - 3$ и $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 8 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 8 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 8$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 8$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 8 x - 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3 x^{2} + 8 x - 3$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 8 x - 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 8 x - 3$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 8 x - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$3 x^{2} + 8 (x) - 3 = 0$

Этап 5.2.1.2

Запишем $8$ как $- 1$ плюс $9$

$3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3 = 0$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3 = 0$

Этап 5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 5.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{3}, - 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{1}{3}) + 8$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} + 8$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 8$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$2 + 8$

Этап 9.2

Добавим $2$ и $8$ .

$10$

Этап 10

$x = \frac{1}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + 4 {(\frac{1}{3})}^{2} - 3 (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + 4 {(\frac{1}{3})}^{2} - 3 (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + 4 {(\frac{1}{3})}^{2} - 3 (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + 4 {(\frac{1}{3})}^{2} - 3 (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + 4 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 3 (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + 4 (\frac{1}{3^{2}}) - 3 (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + 4 (\frac{1}{9}) - 3 (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.7

Объединим $4$ и $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4}{9} - 3 (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4}{9} + 3 (- 1) (\frac{1}{3}) - 18$

Этап 11.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4}{9} + 3 \cdot (- 1 (\frac{1}{3})) - 18$

Этап 11.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4}{9} - 1 - 18$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3} - 1 - 18$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 1 - 18$

Этап 11.2.2.3

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1} - 18$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 27}{27} - 18$

Этап 11.2.2.6

Запишем $- 18$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 27}{27} + \frac{- 18}{1}$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{- 18}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 27}{27} + \frac{- 18}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 11.2.2.8

Умножим $\frac{- 18}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 27}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.9

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 27 - 18 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 12 - 1 \cdot 27 - 18 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 12 - 27 - 18 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $- 18$ на $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 12 - 27 - 486}{27}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Добавим $1$ и $12$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 - 27 - 486}{27}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $27$ из $13$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 - 486}{27}$

Этап 11.2.5.3

Вычтем $486$ из $- 14$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 500}{27}$

Этап 11.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{500}{27}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{500}{27}$ .

$y = - \frac{500}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- 3) + 8$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $6$ на $- 3$ .

$- 18 + 8$

Этап 13.2

Добавим $- 18$ и $8$ .

$- 10$

Этап 14

$x = - 3$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 3$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} + 4 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 18$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f (- 3) = - 27 + 4 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 18$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = - 27 + 4 \cdot 9 - 3 \cdot - 3 - 18$

Этап 15.2.1.3

Умножим $4$ на $9$ .

$f (- 3) = - 27 + 36 - 3 \cdot - 3 - 18$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 27 + 36 + 9 - 18$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 27$ и $36$ .

$f (- 3) = 9 + 9 - 18$

Этап 15.2.2.2

Добавим $9$ и $9$ .

$f (- 3) = 18 - 18$

Этап 15.2.2.3

Вычтем $18$ из $18$ .

$f (- 3) = 0$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{500}{27})$ — локальный минимум

$(- 3, 0)$ — локальный максимум

Этап 17