Алгебра Примеры

$S (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Этап 1

Чтобы найти возможное количество положительных корней, обратим внимание на знаки коэффициентов и подсчитаем, сколько раз коэффициенты меняют знак.

$f (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Этап 2

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $1$ , максимальное число положительных корней равно $1$ (правило знаков Декарта).

Положительные корни: $1$

Этап 3

Чтобы найти возможное количество отрицательных корней, заменим $w$ на $- w$ и снова сравним знаки.

$f (- w) = {(- w)}^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $- w$ .

$f (- w) = {(- 1)}^{4} w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- w) = 1 w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.3

Умножим $w^{4}$ на $1$ .

$f (- w) = w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- w$ .

$f (- w) = w^{4} - ({(- 1)}^{3} w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.5.2

Умножим ${(- 1)}^{3}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{4} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.6

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- w) = w^{4} + 1 w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.7

Умножим $w^{3}$ на $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.8

Применим правило умножения к $- w$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 ({(- 1)}^{2} w^{2}) - (- w) - 12$

Этап 4.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 (1 w^{2}) - (- w) - 12$

Этап 4.10

Умножим $w^{2}$ на $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} - (- w) - 12$

Этап 4.11

Умножим $- (- w)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + 1 w - 12$

Этап 4.11.2

Умножим $w$ на $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + w - 12$

Этап 5

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $3$ , максимальное число отрицательных корней равно $3$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $3 - 2$ ).

Отрицательные корни: $3$ или $1$

Этап 6

Возможное количество положительных корней равно $1$ , а возможное количество отрицательных корней ― $3$ или $1$ .

Положительные корни: $1$

Отрицательные корни: $3$ или $1$