Алгебра Примеры

$p (x) = (2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$

Этап 1

Упростим и упорядочим многочлен в порядке убывания, чтобы использовать правило Декарта.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x^{4} x^{3} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x^{4}) + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{3 + 4} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.1.3

Добавим $3$ и $4$ .

$2 x^{7} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.3

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 (x^{3} x^{3}) - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3 + 3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.3.3

Добавим $3$ и $3$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.4

Умножим $5$ на $- 5$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.5

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.5.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{3 + 1} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.6

Умножим $5$ на $10$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Этап 1.2.1.7

Умножим $- 25$ на $5$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

Этап 1.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Добавим $10 x^{4}$ и $10 x^{4}$ .

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $25 x^{3}$ из $- 25 x^{3}$ .

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Этап 1.2.2.3

Перенесем $20 x^{4}$ .

$2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Этап 2

Чтобы найти возможное количество положительных корней, обратим внимание на знаки коэффициентов и подсчитаем, сколько раз коэффициенты меняют знак.

$f (x) = 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Этап 3

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $5$ , максимальное число положительных корней равно $5$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $(5 - 2)$ ).

Положительные корни: $5$ , $3$ , or $1$

Этап 4

Чтобы найти возможное количество отрицательных корней, заменим $x$ на $- x$ и снова сравним знаки.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{7} x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.2

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$f (- x) = 2 (- x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 ({(- 1)}^{6} x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.5

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 (1 x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.6

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.7

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.8

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 (1 x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.9

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.10

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 50 (- x) - 125$

Этап 5.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 (- x^{3}) + 50 (- x) - 125$

Этап 5.12

Умножим $- 1$ на $- 50$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} + 50 (- x) - 125$

Этап 5.13

Умножим $- 1$ на $50$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} - 50 x - 125$

Этап 6

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $2$ , максимальное число отрицательных корней равно $2$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $2 - 2$ ).

Отрицательные корни: $2$ или $0$

Этап 7

Возможное количество положительных корней равно $5$ , $3$ , or $1$ , а возможное количество отрицательных корней ― $2$ или $0$ .

Положительные корни: $5$ , $3$ , or $1$

Отрицательные корни: $2$ или $0$