Алгебра Примеры

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 5}$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$ .

$\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$

Этап 1.2

Упростим $f^{- 1} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x - 5} = \frac{1}{f} x$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{f}$ и $x$ .

$\sqrt{x - 5} = \frac{x}{f}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 5}}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 5)}^{1} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x - 5 = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{f}$ .

$x - 5 = \frac{x^{2}}{f^{2}}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части на $f^{2}$ .

$(x - 5) f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $(x - 5) f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x f^{2} - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Изменим порядок $x$ и $f^{2}$ .

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{2} x - 5 f^{2} = x^{2}$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$f^{2} x - 5 f^{2} - x^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = f^{2}$ и $c = - 5 f^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- f^{2} \pm \sqrt{{(f^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 5 f^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${(f^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.1.2.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.1.3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{4} - 20 f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.1

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.1.3.2

Вынесем множитель $f^{2}$ из $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.1.3.3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Этап 4.3.4.3

Упростим $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Этап 4.3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Перемножим экспоненты в ${(f^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.1.2.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.1.3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{4} - 20 f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.3.1

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.1.3.2

Вынесем множитель $f^{2}$ из $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.1.3.3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Этап 4.3.5.3

Упростим $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Этап 4.3.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Этап 4.3.5.5

Вынесем множитель $f$ из $f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.5.1

Вынесем множитель $f$ из $f^{2}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Этап 4.3.5.5.2

Вынесем множитель $f$ из $f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Этап 4.3.5.5.3

Вынесем множитель $f$ из $f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})$ .

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Этап 4.3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Перемножим экспоненты в ${(f^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{4} - 20 f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.3.1

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.3.2

Вынесем множитель $f^{2}$ из $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.3.3

Вынесем множитель $f^{2}$ из $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Этап 4.3.6.3

Упростим $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Этап 4.3.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Этап 4.3.6.5

Вынесем множитель $f$ из $f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.5.1

Вынесем множитель $f$ из $f^{2}$ .

$x = \frac{f \cdot f - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Этап 4.3.6.5.2

Вынесем множитель $f$ из $- f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Этап 4.3.6.5.3

Вынесем множитель $f$ из $f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})$ .

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Этап 4.3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Этап 5

Чтобы привести выражение к виду функции от переменной $f$ , перепишем уравнение, поместив $x$ с одной стороны от знака равенства, а выражение, которое зависит только от $f$ , с другой стороны.

$f (f) = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}, \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$