Алгебра Примеры

$\frac{4}{x - 2} \geq 2$

Этап 1

Решим $2 < x \leq 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\frac{4}{x - 2} - 2 \geq 0$

Этап 1.2

Упростим $\frac{4}{x - 2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{x - 2} - 2 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{x - 2} + \frac{- 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 - 2 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (x - 2)$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- (x - 2))}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (- (x - 2))$ .

$\frac{2 (2 - (x - 2))}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 - x - - 2)}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.4.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 (2 - x + 2)}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.4.4

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.6

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.8

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (x - 4)}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 1.4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 4$

$x = 2$

Этап 1.7

Объединим решения.

$x = 4, 2$

Этап 1.8

Найдем область определения $- \frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 1.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 1.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 1.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{(0) - 2} \geq 2$

Этап 1.10.1.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.10.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 1.10.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{(3) - 2} \geq 2$

Этап 1.10.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.10.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 1.10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{(6) - 2} \geq 2$

Этап 1.10.3.3

Левая часть $1$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 1.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x \leq 4$

Этап 2

Используем неравенство $2 < x \leq 4$ для построения формы записи множества.

${x | 2 < x \leq 4}$

Этап 3