Алгебра Примеры

$\log_{4} (x) < 4$

Этап 1

Решим $0 < x < 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{4} (x) = 4$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\log_{4} (x) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{4} = x$

Этап 1.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x = 4^{4}$ .

$x = 4^{4}$

Этап 1.2.2.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$x = 256$

Этап 1.3

Найдем область определения $\log_{4} (x) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим аргумент в $\log_{4} (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 1.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 1.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 256$

$x > 256$

Этап 1.5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log_{4} (- 2) < 4$

Этап 1.5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 1.5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 256$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 256$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 1.5.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\log_{4} (2) < 4$

Этап 1.5.2.3

Левая часть $0.5$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.5.3

Проверим значение на интервале $x > 256$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 256$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 258$

Этап 1.5.3.2

Заменим $x$ на $258$ в исходном неравенстве.

$\log_{4} (258) < 4$

Этап 1.5.3.3

Левая часть $4.00561362$ не меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 256$ Истина

$x > 256$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 256$ Истина

$x > 256$ Ложь

Этап 1.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 256$

Этап 2

Используем неравенство $0 < x < 256$ для построения формы записи множества.

${x | 0 < x < 256}$

Этап 3