Алгебра Примеры

$\frac{4 y^{2} - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{2} - 18 y + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 (y) + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.2.1.1.2

Запишем $- 9$ как $- 3$ плюс $- 6$

$\frac{2 (2 y^{2} + (- 3 - 6) y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 y^{2} - 3 y - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 ((2 y^{2} - 3 y) - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 (y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y - 3$ .

$\frac{2 ((2 y - 3) (y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{3} - 6 y^{2} + 9 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} - 6 y^{2} + 9 y}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 6 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + 9 y}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $y$ из $9 y$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + y \cdot 9}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{2} + y (- 6 y)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем множитель $y$ из $y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 9)}$

Этап 1.1.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 3^{2})}$

Этап 1.1.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Этап 1.1.4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2})}$

Этап 1.1.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 3$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Сократим выражение $\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Вынесем множитель $y - 3$ из $2 (2 y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{y {(y - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.5.2

Вынесем множитель $y - 3$ из $y {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Этап 1.1.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Этап 1.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 y - 3)}{y (y - 3)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y (y - 3)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.5.2

Разделим $2 (2 y - 3)$ на $1$ .

$2 (2 y - 3) = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.7.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.8.1.2

Разделим $A (y - 3)$ на $1$ .

$4 y - 6 = A (y - 3) + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y - 6 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.8.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$4 y - 6 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.8.4

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$4 y - 6 = A y - 3 A + \frac{B (y (y - 3))}{y - 3}$

Этап 1.8.4.2

Разделим $(B) (y)$ на $1$ .

$4 y - 6 = A y - 3 A + (B) (y)$

$4 y - 6 = A y - 3 A + B y$

Этап 1.9

Перенесем $- 3 A$ .

$4 y - 6 = A y + B y - 3 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 6 = - 3 A$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $- 6 = - 3 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 A = - 6$ .

$- 3 A = - 6$

$4 = A + B$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 3 A = - 6$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 3 A = - 6$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 3$ .

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $4 = A + B$ на $2$ .

$4 = (2) + B$

$A = 2$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $4 = 2 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + B = 4$ .

$2 + B = 4$

$A = 2$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$B = 4 - 2$

$A = 2$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$B = 2 A = 2$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = 2, A = 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{2}{y} + \frac{2}{y - 3}$