Алгебра Примеры

$\sin (- 6 x)$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$\sin (2 (- 3 x))$

Этап 1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$2 \sin (3 (- x)) \cos (- 3 x)$

Этап 1.2.2

Применим формулу тройного угла для синуса.

$2 (- 4 \sin^{3} (- x) + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Так как $\sin (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$2 (- 4 {(- \sin (x))}^{3} + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Этап 1.3.2

Применим правило умножения к $- \sin (x)$ .

$2 (- 4 ({(- 1)}^{3} \sin^{3} (x)) + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Этап 1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 (- 4 (- \sin^{3} (x)) + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$2 (4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Этап 1.3.5

Так как $\sin (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$2 (4 \sin^{3} (x) + 3 (- \sin (x))) \cos (- 3 x)$

Этап 1.3.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 (4 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)) \cos (- 3 x)$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (4 \sin^{3} (x)) + 2 (- 3 \sin (x))) \cos (- 3 x)$

Этап 1.4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $4$ на $2$ .

$(8 \sin^{3} (x) + 2 (- 3 \sin (x))) \cos (- 3 x)$

Этап 1.4.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) \cos (- 3 x)$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) \cos (3 (- x))$

Этап 1.4.4

Используем формулу тройного угла для преобразования $\cos (3 x)$ в $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (- x) - 3 \cos (- x))$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Так как $\cos (- x)$ — четная функция, перепишем $\cos (- x)$ в виде $\cos (x)$ .

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (- x))$

Этап 1.5.2

Так как $\cos (- x)$ — четная функция, перепишем $\cos (- x)$ в виде $\cos (x)$ .

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Этап 2

Развернем $(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \cdot 4 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Этап 3.1.2

Умножим $8$ на $4$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Этап 3.1.3

Умножим $- 3$ на $8$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Этап 3.1.4

Умножим $4$ на $- 6$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Этап 3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$

Этап 3.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $- 24 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \sin^{2} (x)) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $- 24 \sin (x) \cos^{3} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \cos^{2} (x)) + 18 \sin (x) \cos (x)$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $18 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (9)$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (9)$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \cos^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (9)$

Этап 3.2.1.7

Вынесем множитель $2 \sin (x) \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (9)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 12 \cos^{2} (x) + 9)$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 (\sin^{2} (x)) - 12 \cos^{2} (x) + 9)$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 \cos^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 (\sin^{2} (x)) - 12 (\cos^{2} (x)) + 9)$

Этап 3.2.4

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 (\sin^{2} (x)) - 12 (\cos^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 9)$

Этап 4

Применим формулу Пифагора.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \cdot 1 + 9)$

Этап 5

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 12$ на $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 + 9)$

Этап 5.2

Добавим $- 12$ и $9$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 3)$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Этап 6

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Этап 6.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Этап 6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Этап 7

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) - 6 \sin (x) \cos (x)$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$2 \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) \cdot 16 - 6 \sin (x) \cos (x)$

Этап 8.1.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)) \cdot 16 - 6 \sin (x) \cos (x)$

Этап 8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sin^{3} (x) {\cos (x)}^{2 + 1} \cdot 16 - 6 \sin (x) \cos (x)$

Этап 8.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) \cdot 16 - 6 \sin (x) \cos (x)$

Этап 8.2

Умножим $16$ на $2$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 6 \sin (x) \cos (x)$