Алгебра Примеры

$(- 1, 1)$ , $(1, 5)$ , $(2, 10)$

Этап 1

Воспользуемся стандартной формой квадратного уравнения $y = a x^{2} + b x + c$ в качестве начальной точки, чтобы найти уравнение параболы, проходящей через три данные точки.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 2

Составим систему уравнений, подставив значения $x$ и $y$ для каждой точки в стандартную формулу квадратного уравнения, чтобы получить систему из трех уравнений.

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 5 = a {(1)}^{2} + b (1) + c, 10 = a {(2)}^{2} + b (2) + c$

Этап 3

Решим систему уравнений, чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $a$ в $5 = a + b + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $a + b + c = 5$ .

$a + b + c = 5$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.1.2

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$a + c = 5 - b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $c$ из обеих частей уравнения.

$a = 5 - b - c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$a = 5 - b - c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$a = 5 - b - c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $a$ на $5 - b - c$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $a$ в $1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ на $5 - b - c$ .

$1 = (5 - b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $(5 - b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 = (5 - b - c) \cdot 1 + b (- 1) + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $5 - b - c$ на $1$ .

$1 = 5 - b - c + b (- 1) + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2.2.1.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $b$ .

$1 = 5 - b - c - 1 b + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2.2.1.1.4

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$1 = 5 - b - c - b + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - b - c - b + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $5 - b - c - b + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1.1

Добавим $- c$ и $c$ .

$1 = 5 - b - b + 0$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2.2.1.2.1.2

Добавим $5 - b - b$ и $0$ .

$1 = 5 - b - b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - b - b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вычтем $b$ из $- b$ .

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $a$ в $10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$ на $5 - b - c$ .

$10 = (5 - b - c) \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим $(5 - b - c) \cdot 2^{2} + b (2) + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$10 = (5 - b - c) \cdot 4 + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.2.4.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 = 5 \cdot 4 - b \cdot 4 - c \cdot 4 + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.2.4.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1.3.1

Умножим $5$ на $4$ .

$10 = 20 - b \cdot 4 - c \cdot 4 + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.2.4.1.1.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$10 = 20 - 4 b - c \cdot 4 + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.2.4.1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$10 = 20 - 4 b - 4 c + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 4 b - 4 c + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.2.4.1.1.4

Перенесем $2$ влево от $b$ .

$10 = 20 - 4 b - 4 c + 2 b + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 4 b - 4 c + 2 b + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.2.4.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.2.1

Добавим $- 4 b$ и $2 b$ .

$10 = 20 - 2 b - 4 c + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.2.4.1.2.2

Добавим $- 4 c$ и $c$ .

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.3

Решим относительно $b$ в $1 = 5 - 2 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $5 - 2 b = 1$ .

$5 - 2 b = 1$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 b = 1 - 5$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$- 2 b = - 4$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$- 2 b = - 4$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 2 b = - 4$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 2 b = - 4$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $- 4$ на $- 2$ .

$b = 2$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = 2$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = 2$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = 2$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $b$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $b$ в $10 = 20 - 2 b - 3 c$ на $2$ .

$10 = 20 - 2 \cdot 2 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $20 - 2 \cdot 2 - 3 c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$10 = 20 - 4 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $4$ из $20$ .

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $b$ в $a = 5 - b - c$ на $2$ .

$a = 5 - (2) - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

Этап 3.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим $5 - (2) - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$a = 5 - 2 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

Этап 3.4.4.1.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$a = 3 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 3 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 3 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 3 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

Этап 3.5

Решим относительно $c$ в $10 = 16 - 3 c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $16 - 3 c = 10$ .

$16 - 3 c = 10$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 3 c = 10 - 16$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $16$ из $10$ .

$- 3 c = - 6$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$- 3 c = - 6$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $- 3 c = - 6$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $- 3 c = - 6$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 c}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 c}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $- 6$ на $- 3$ .

$c = 2$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = 2$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = 2$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = 2$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $c$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $c$ в $a = 3 - c$ на $2$ .

$a = 3 - (2)$

$c = 2$

$b = 2$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $3 - (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$a = 3 - 2$

$c = 2$

$b = 2$

Этап 3.6.2.1.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$a = 1$

$c = 2$

$b = 2$

$a = 1$

$c = 2$

$b = 2$

$a = 1$

$c = 2$

$b = 2$

$a = 1$

$c = 2$

$b = 2$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$a = 1, c = 2, b = 2$

Этап 4

Подставим фактические значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратного уравнения, чтобы найти результирующее уравнение.

$y = x^{2} + 2 x + 2$

Этап 5