Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $g (x) = \sqrt{2 + x}$

Этап 1

Найдем отношение функций.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим обозначения функций в $\frac{f (x)}{g (x)}$ фактическими функциями.

$\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{2 + x}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Этап 1.2.2

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Этап 1.2.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Этап 1.2.4

Умножим $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ на $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}} \cdot \frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$

Этап 1.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ на $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} \sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x}}$

Этап 1.2.5.2

Перенесем $\sqrt{2 + x}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (\sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x})}$

Этап 1.2.5.3

Возведем $\sqrt{2 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} \sqrt{2 + x})}$

Этап 1.2.5.4

Возведем $\sqrt{2 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} {\sqrt{2 + x}}^{1})}$

Этап 1.2.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{2}}$

Этап 1.2.5.7

Перепишем ${\sqrt{2 + x}}^{2}$ в виде $2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + x}$ в виде ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {({(2 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.5.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.5.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.5.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.5.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{1}}$

Этап 1.2.5.7.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 + x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 + x \geq 0$

Этап 3

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} (2 + x) = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

Этап 5.2

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.2.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.2.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (2 + x) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 2, x \neq 0}$

Этап 7