Алгебра Примеры

$f (x) = x - 6 \sqrt{x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x - 6 \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sqrt{x})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 6 \sqrt{x})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.1.2.10

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.12

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2.2.4

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.2.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 1.2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 1.2.2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 1.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 1.2.2.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.2.2.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Этап 1.2.2.13

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Этап 1.2.2.13.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Этап 1.2.2.13.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 1.2.2.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 1.2.2.13.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.13.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Этап 1.2.2.13.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Этап 1.2.2.13.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 1.2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 1.2.2.15

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f'' (x) = 0 + 3 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 1.2.2.16

Объединим $3$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $3 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба