Алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \end{array}]$

Этап 1

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в столбце $2$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 1.1.3

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Этап 1.1.4

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Этап 1.1.5

Минор для $a_{22}$ — это определитель с удаленными строкой $2$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Этап 1.1.6

Умножим элемент $a_{22}$ на его алгебраическое дополнение.

$4 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Этап 1.1.7

Минор для $a_{32}$ — это определитель с удаленными строкой $3$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Этап 1.1.8

Умножим элемент $a_{32}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Этап 1.1.9

Сложим члены.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Этап 1.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 1.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 (1 \cdot 5 - 2 \cdot 3) + 4 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 1.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$- 2 (5 - 2 \cdot 3) + 4 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 1.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 2 (5 - 6) + 4 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0$

Этап 1.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 (3 \cdot 5 - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 (15 - 2 \cdot - 1) + 0$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 (15 + 2) + 0$

Этап 1.4.2.2

Добавим $15$ и $2$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cdot 17 + 0$

Этап 1.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 + 4 \cdot 17 + 0$

Этап 1.5.1.2

Умножим $4$ на $17$ .

$2 + 68 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $2$ и $68$ .

$70 + 0$

Этап 1.5.3

Добавим $70$ и $0$ .

$70$

Этап 2

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 3

Создадим матрицу $3 \times 6$ , левая половина которой равна исходной матрице, а правая половина — ее единичной матрице.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 4 - \frac{2}{3} & 3 + \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{10}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.3

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{10}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 (\frac{2}{3}) & 5 - 2 (- \frac{1}{3}) & 0 - 2 (\frac{1}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{10}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & \frac{17}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.4

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{3}{10}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{3}{10}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{3}{10} \cdot 0 & \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} & \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} & \frac{3}{10} (- \frac{1}{3}) & \frac{3}{10} \cdot 1 & \frac{3}{10} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & \frac{17}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & \frac{17}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.5

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & \frac{17}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} (- \frac{1}{10}) & 0 + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{10} & 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & 7 & - \frac{4}{5} & \frac{2}{5} & 1 \end{array}]$

Этап 4.6

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{1}{7}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{1}{7}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & 0 \\ \frac{0}{7} & \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{- \frac{4}{5}}{7} & \frac{\frac{2}{5}}{7} & \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 4.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{35} & \frac{2}{35} & \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 4.7

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - \frac{1}{10} + \frac{4}{35} & \frac{3}{10} - \frac{2}{35} & 0 - \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{35} & \frac{2}{35} & \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 4.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{70} & \frac{17}{70} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{35} & \frac{2}{35} & \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 4.8

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{4}{35}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{35} & 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{70} & \frac{17}{70} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{35} & \frac{2}{35} & \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 4.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{31}{105} & \frac{2}{105} & \frac{1}{21} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{70} & \frac{17}{70} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{35} & \frac{2}{35} & \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 4.9

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{31}{105} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{70} & \frac{2}{105} - \frac{2}{3} \cdot \frac{17}{70} & \frac{1}{21} - \frac{2}{3} (- \frac{1}{7}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{70} & \frac{17}{70} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{35} & \frac{2}{35} & \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 4.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{2}{7} & - \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{70} & \frac{17}{70} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{4}{35} & \frac{2}{35} & \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 5

Правая половина матрицы, приведенной к стандартной форме, является обратной матрицей.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{7} & - \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{70} & \frac{17}{70} & - \frac{1}{7} \\ - \frac{4}{35} & \frac{2}{35} & \frac{1}{7} \end{array}]$