Алгебра Примеры

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 + \cot^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \cot (x)$

Этап 3.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2

Чтобы записать $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${\sin (x)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 4.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Этап 4.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Этап 4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $\cos (x)$ из ${\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$1 + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в виде ${(1 + \cot (x))}^{2}$ .

${(1 + \cot (x))}^{2}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$ — тождество