Алгебра Примеры

$\frac{4}{5}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{16}{45}$ , $\frac{32}{135}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{2}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{2}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = \frac{4}{5}$ и $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{4}{5} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5

Объединим.

$a_{n} = \frac{4 \cdot 2^{n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a_{n} = \frac{2^{2} \cdot 2^{n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a_{n} = \frac{2^{2 + n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 7

Подставим значение $n$ , чтобы найти $n$ -й член.

$a_{5} = \frac{2^{(5) + 1}}{5 \cdot 3^{(5) - 1}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $5$ и $1$ .

$a_{5} = \frac{2^{6}}{5 \cdot 3^{5 - 1}}$

Этап 8.2

Возведем $2$ в степень $6$ .

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 3^{5 - 1}}$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 3^{4}}$

Этап 9.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 81}$

Этап 10

Умножим $5$ на $81$ .

$a_{5} = \frac{64}{405}$