Алгебра Примеры

$(1, 3)$ , $(- 2, 8)$ , $(0, 4)$

Этап 1

Воспользуемся стандартной формой квадратного уравнения $y = a x^{2} + b x + c$ в качестве начальной точки, чтобы найти уравнение параболы, проходящей через три данные точки.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 2

Составим систему уравнений, подставив значения $x$ и $y$ для каждой точки в стандартную формулу квадратного уравнения, чтобы получить систему из трех уравнений.

$3 = a {(1)}^{2} + b (1) + c, 8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c, 4 = a {(0)}^{2} + b (0) + c$

Этап 3

Решим систему уравнений, чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $c$ в $4 = a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $a \cdot 0^{2} + c = 4$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Этап 3.1.2

Упростим $a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a \cdot 0 + c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $a$ на $0$ .

$0 + c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$0 + c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $c$ .

$c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $c$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $c$ в $3 = a + b + c$ на $4$ .

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $c$ в $8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$ на $4$ .

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Этап 3.2.4

Упростим $8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Избавимся от скобок.

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Этап 3.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$8 = a \cdot 4 + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Этап 3.2.4.2.1.2

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$8 = 4 \cdot a + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Этап 3.2.4.2.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $b$ .

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Этап 3.3

Решим относительно $a$ в $3 = a + b + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $a + b + 4 = 3$ .

$a + b + 4 = 3$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$a + 4 = 3 - b$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$a = 3 - b - 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $4$ из $3$ .

$a = - b - 1$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

$a = - b - 1$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

$a = - b - 1$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $a$ на $- b - 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $a$ в $8 = 4 a - 2 b + 4$ на $- b - 1$ .

$8 = 4 (- b - 1) - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $4 (- b - 1) - 2 b + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 = 4 (- b) + 4 \cdot - 1 - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$8 = - 4 b + 4 \cdot - 1 - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$8 = - 4 b - 4 - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 4 b - 4 - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $- 4 b - 4 - 2 b + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$8 = - 4 b - 2 b + 0$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.4.2.1.2.1.2

Добавим $- 4 b - 2 b$ и $0$ .

$8 = - 4 b - 2 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 4 b - 2 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вычтем $2 b$ из $- 4 b$ .

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5

Решим относительно $b$ в $8 = - 6 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 6 b = 8$ .

$- 6 b = 8$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- 6 b = 8$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- 6 b = 8$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 b}{- 6} = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 b}{- 6} = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $8$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$b = \frac{2 (4)}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$b = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$b = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$b = \frac{4}{- 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = \frac{4}{- 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = \frac{4}{- 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$b = - \frac{4}{3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = - \frac{4}{3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = - \frac{4}{3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = - \frac{4}{3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $b$ на $- \frac{4}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $b$ в $a = - b - 1$ на $- \frac{4}{3}$ .

$a = - (- \frac{4}{3}) - 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $- (- \frac{4}{3}) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $- (- \frac{4}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a = 1 (\frac{4}{3}) - 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Этап 3.6.2.1.1.2

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$a = \frac{4}{3} - 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{4}{3} - 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Этап 3.6.2.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$a = \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Этап 3.6.2.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$a = \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Этап 3.6.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$a = \frac{4 - 1 \cdot 3}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Этап 3.6.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$a = \frac{4 - 3}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Этап 3.6.2.1.5.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$a = \frac{1}{3}, b = - \frac{4}{3}, c = 4$

Этап 4

Подставим фактические значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратного уравнения, чтобы найти результирующее уравнение.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + 4$

Этап 5