Алгебра Примеры

$y = \sqrt{x (x + 6)}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x (x + 6)}$ в виде ${(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x (x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x (x + 6)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x (x + 6)$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.6.3

Перенесем ${(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 6$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x + 6) \cdot 1)$

Этап 4.8.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.6.1

Умножим $x + 6$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + x + 6)$

Этап 4.8.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$

Этап 4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Применим правило умножения к $x (x + 6)$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})} (2 x + 6)$

Этап 4.9.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$ .

$(2 x + 6) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.3

Умножим $2 x + 6$ на $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 6}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.5

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.9.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.9.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 3)}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.9.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$