Алгебра Примеры

$\log (b x) - \log (b \cdot 5) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем $2$ влево от $b$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 \cdot b) - \log (b) (x - 3)$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x - \log (b) \cdot - 3$

Этап 2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок множителей в $\log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - x \log (b) + 3 \log (b)$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $\log (2 b)$ и $- x \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $- x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $3 \log (b)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + \log (b^{3})$

Этап 3.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b \cdot b^{3})$

Этап 3.1.3

Умножим $b$ на $b^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Перенесем $b^{3}$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b))$

Этап 3.1.3.2

Умножим $b^{3}$ на $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b^{1}))$

Этап 3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{3 + 1})$

Этап 3.1.3.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{4})$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log (\frac{x}{5}) + x \log (b) - \log (2 b^{4}) = 0$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \log (b) + \log (\frac{\frac{x}{5}}{2 b^{4}}) = 0$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2 b^{4}}) = 0$

Этап 6.2

Объединим.

$x \log (b) + \log (\frac{x \cdot 1}{5 (2 b^{4})}) = 0$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5 \cdot (2 b^{4})}) = 0$

Этап 6.4

Умножим $5$ на $2$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{10 b^{4}}) = 0$

Этап 7

Перепишем $\log (\frac{x}{10 b^{4}}) = - x \log (b)$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{- x \log (b)} = \frac{x}{10 b^{4}}$

Этап 8

Решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (10^{- x \log (b)}) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$

Этап 8.2

Развернем $\ln (10^{- x \log (b)})$ , вынося $- x \log (b)$ из логарифма.

$- x \log (b) \ln (10) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$