Алгебра Примеры

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x)) = \cot (x) - \tan (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\cot (x) - \tan (x)$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (x)$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (x) \cos (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4

Упростим каждый член.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6

Вычтем ${\sin (x)}^{2}$ из $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 7

Теперь рассмотрим левую часть уравнения.

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x))$

Этап 8

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\csc (x) - 2 \sin (x))$

Этап 8.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - 2 \sin (x))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$

Этап 9.2

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$

Этап 9.3

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{- 2}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 9.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы записать $- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 11

Умножим $- 2 \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 12

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x)) = \cot (x) - \tan (x)$ — тождество