Алгебра Примеры

$\frac{j^{2} + 2 j}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $j$ из $j^{2} + 2 j$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $j$ из $j^{2}$ .

$\frac{j \cdot j + 2 j}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $j$ из $2 j$ .

$\frac{j \cdot j + j \cdot 2}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $j$ из $j \cdot j + j \cdot 2$ .

$\frac{j (j + 2)}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Этап 1.2

Разложим $j^{2} + 9 j + 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $14$ , а сумма — $9$ .

$2, 7$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Этап 1.3

Сократим выражение $\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Этап 1.4

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{j^{2} - 7^{2}} = - 10$

Этап 1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = j$ и $b = 7$ .

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$j + 7, (j + 7) (j - 7), 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $j + 7$ является само значение $j + 7$ .

$(j + 7) = j + 7$

$(j + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $j - 7$ является само значение $j - 7$ .

$(j - 7) = j - 7$

$(j - 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $j + 7, j + 7, j - 7$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(j + 7) (j - 7)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$ умножим на $(j + 7) (j - 7)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$ на $(j + 7) (j - 7)$ .

$\frac{j}{j + 7} ((j + 7) (j - 7)) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $j + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{j}{j + 7} ((j + 7) (j - 7)) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$j (j - 7) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$j \cdot j + j \cdot - 7 + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $j$ на $j$ .

$j^{2} + j \cdot - 7 + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $- 7$ влево от $j$ .

$j^{2} - 7 \cdot j + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $(j + 7) (j - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$j^{2} - 7 j + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Этап 3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(j + 7) (j - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j (j - 7) + 7 (j - 7))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 (j - 7))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 j + 7 \cdot - 7)$

Этап 3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим противоположные члены в $j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 j + 7 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $j \cdot - 7$ и $7 j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j - 7 j + 7 j + 7 \cdot - 7)$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $- 7 j$ и $7 j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + 0 + 7 \cdot - 7)$

Этап 3.3.2.1.3

Добавим $j \cdot j$ и $0$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + 7 \cdot - 7)$

Этап 3.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Умножим $j$ на $j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j^{2} + 7 \cdot - 7)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $7$ на $- 7$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j^{2} - 49)$

Этап 3.3.2.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 j^{2} - 10 \cdot - 49$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $- 10$ на $- 49$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 j^{2} + 490$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $j$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $10 j^{2}$ к обеим частям уравнения.

$j^{2} - 7 j + 1 + 10 j^{2} = 490$

Этап 4.1.2

Добавим $j^{2}$ и $10 j^{2}$ .

$11 j^{2} - 7 j + 1 = 490$

Этап 4.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $490$ из обеих частей уравнения.

$11 j^{2} - 7 j + 1 - 490 = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $490$ из $1$ .

$11 j^{2} - 7 j - 489 = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 11$ , $b = - 7$ и $c = - 489$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $j$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (11 \cdot - 489)}}{2 \cdot 11}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11 \cdot - 489}}{2 \cdot 11}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 11 \cdot - 489$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $11$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 44 \cdot - 489}}{2 \cdot 11}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 44$ на $- 489$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 21516}}{2 \cdot 11}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $49$ и $21516$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{21565}}{2 \cdot 11}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $11$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{21565}}{22}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$j = \frac{7 + \sqrt{21565}}{22}, \frac{7 - \sqrt{21565}}{22}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$j = \frac{7 + \sqrt{21565}}{22}, \frac{7 - \sqrt{21565}}{22}$

Десятичная форма:

$j = 6.99319381 \dots, - 6.35683017 \dots$