Алгебра Примеры

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 13 x + 39}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$8 x^{2}$

$12 x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$8 x^{2}$

$12 x$

$39$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$8 x^{2}$

$12 x$

$39$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$8 x^{2}$

$12 x$

$39$

$8 x^{2}$

$16 x$

$8$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} + 16 x + 8$ .

$x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$8 x^{2}$

$12 x$

$39$

$8 x^{2}$

$16 x$

$8$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$39$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$8 x^{2}$

$12 x$

$39$

$8 x^{2}$

$16 x$

$8$

$4 x$

$31$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + 8 + \frac{- 4 x + 31}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 31}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Этап 2.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{- 4 x + 31}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 2.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{- 4 x + 31}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 2.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(- 4 x + 31) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 4 x + 31) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 2.5.2

Разделим $- 4 x + 31$ на $1$ .

$- 4 x + 31 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$- 4 x + 31 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 2.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$- 4 x + 31 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$- 4 x + 31 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$- 4 x + 31 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 2.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 x + 31 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 2.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 x + 31 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Этап 2.6.2.2.4

Разделим $B (x + 1)$ на $1$ .

$- 4 x + 31 = A + B (x + 1)$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x + 31 = A + B x + B \cdot 1$

Этап 2.6.4

Умножим $B$ на $1$ .

$- 4 x + 31 = A + B x + B$

Этап 2.7

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$- 4 x + 31 = B x + A + B$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 4 = B$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$31 = A + B$

Этап 3.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 4 = B$

$31 = A + B$

$- 4 = B$

$31 = A + B$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $B = - 4$ .

$B = - 4$

$31 = A + B$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $B$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $31 = A + B$ на $- 4$ .

$31 = A - 4$

$B = - 4$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Избавимся от скобок.

$31 = A - 4$

$B = - 4$

$31 = A - 4$

$B = - 4$

$31 = A - 4$

$B = - 4$

Этап 4.3

Решим относительно $A$ в $31 = A - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $A - 4 = 31$ .

$A - 4 = 31$

$B = - 4$

Этап 4.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$A = 31 + 4$

$B = - 4$

Этап 4.3.2.2

Добавим $31$ и $4$ .

$A = 35$

$B = - 4$

$A = 35$

$B = - 4$

$A = 35$

$B = - 4$

Этап 4.4

Решим систему уравнений.

$A = 35 B = - 4$

Этап 4.5

Перечислим все решения.

$A = 35, B = - 4$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $x + 8 + \frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$x + 8 + \frac{35}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 4}{x + 1}$