Алгебра Примеры

$\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{9}{32}$ , $\frac{27}{128}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{3}{4}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{3}{4}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = \frac{1}{2}$ и $r = \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Этап 5

Объединим.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 3^{n - 1}}{2 \cdot 4^{n - 1}}$

Этап 6

Умножим $3^{n - 1}$ на $1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 4^{n - 1}}$

Этап 7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot {(2^{2})}^{n - 1}}$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 (n - 1)}}$

Этап 7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 n + 2 \cdot - 1}}$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 n - 2}}$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2^{1 + 2 n - 2}}$

Этап 7.4

Вычтем $2$ из $1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2^{2 n - 1}}$

Этап 8

Подставим значение $n$ , чтобы найти $n$ -й член.

$a_{5} = \frac{3^{(5) - 1}}{2^{2 (5) - 1}}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$a_{5} = \frac{3^{4}}{2^{2 (5) - 1}}$

Этап 9.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{2 (5) - 1}}$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $2$ на $5$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{10 - 1}}$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из $10$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{9}}$

Этап 10.3

Возведем $2$ в степень $9$ .

$a_{5} = \frac{81}{512}$