Алгебра Примеры

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \frac{16}{243}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{2}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{2}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = \frac{1}{3}$ и $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5

Объединим.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6

Умножим $3$ на $3^{n - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $3^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1} \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1 + n - 1}}$

Этап 6.2

Объединим противоположные члены в $1 + n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n + 0}}$

Этап 6.2.2

Добавим $n$ и $0$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n}}$

Этап 7

Умножим $2^{n - 1}$ на $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n}}$

Этап 8

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 9

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{5}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{5} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{2^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10.3

Возведем $3$ в степень $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10.5

Объединим $- 1$ и $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Умножим $- 1$ на $243$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10.7.2

Вычтем $243$ из $32$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 10.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 11.2

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 3}{3}}$

Этап 11.4.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{- 1}{3}}$

Этап 11.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{- \frac{1}{3}}$

Этап 12

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Этап 12.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{211}{243} \cdot 3)$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{211}{243} \cdot 3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Этап 12.3.2

Сократим общий множитель.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Этап 12.3.3

Перепишем это выражение.

$S_{5} = \frac{211}{243}$