Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 8 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} x^{3} - 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{6}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{2} - 8 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$2 x^{2} - 8$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x^{2} - 8 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} x^{3} - 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{6}{3}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 8 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 8$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x^{2} - 8$ .

$2 x^{2} - 8$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x^{2} - 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Этап 5.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 8$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x^{2} = 8$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 8$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $8$ на $2$ .

$x^{2} = 4$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 (2)$

Этап 9

Умножим $4$ на $2$ .

$8$

Этап 10

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - 8 \cdot 2$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 \cdot 2$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 8}{3} - 8 \cdot 2$

Этап 11.2.1.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

$f (2) = \frac{16}{3} - 8 \cdot 2$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f (2) = \frac{16}{3} - 16$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- 16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{16}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.3

Объединим $- 16$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{16 - 16 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $- 16$ на $3$ .

$f (2) = \frac{16 - 48}{3}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $48$ из $16$ .

$f (2) = \frac{- 32}{3}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (2) = - \frac{32}{3}$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{32}{3}$ .

$y = - \frac{32}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 (- 2)$

Этап 13

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8$

Этап 14

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 8 \cdot - 2$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = \frac{2}{3} \cdot - 8 - 8 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot - 8}{3} - 8 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{- 16}{3} - 8 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{16}{3} - 8 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{16}{3} + 16$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.3

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $16$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 16 + 48}{3}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $- 16$ и $48$ .

$f (- 2) = \frac{32}{3}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{32}{3}$ .

$y = \frac{32}{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 8 x$ .

$(2, - \frac{32}{3})$ — локальный минимум

$(- 2, \frac{32}{3})$ — локальный максимум

Этап 17