Алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 6 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке $1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 1.1.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Этап 1.1.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Этап 1.1.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 1.1.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 1.1.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} - 6 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Этап 1.1.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} - 6 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Этап 1.1.9

Сложим члены.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 6 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Этап 1.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 6 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Этап 1.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 6 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 (1 - 4 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$1 (1 + 0) + 0 + 0$

Этап 1.4.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 \cdot 1 + 0 + 0$

Этап 1.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 0 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 3

Создадим матрицу $3 \times 6$ , левая половина которой равна исходной матрице, а правая половина — ее единичной матрице.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 6 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 1 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 1 & 1 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & 1 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 6 & 0 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 24 & - 4 & 1 \end{array}]$

Этап 5

Правая половина матрицы, приведенной к стандартной форме, является обратной матрицей.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ - 24 & - 4 & 1 \end{array}]$