Алгебра Примеры

$f (x) = x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$

Этап 1

Приравняем $x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$ к $0$ .

$x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 16 x^{4} + 64 x^{3} = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 16 x^{4}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x) + 64 x^{3} = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $64 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x) + x^{3} \cdot 64 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x)$ .

$x^{3} (x^{2} - 16 x) + x^{3} \cdot 64 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (x^{2} - 16 x) + x^{3} \cdot 64$ .

$x^{3} (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Этап 2.1.2.3

Перепишем многочлен.

$x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 8$ .

$x^{3} {(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

${(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 8)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 8)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 8)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} {(x - 8)}^{2} = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 0$ (кратно $3$ )

$x = 8$ (кратно $2$ )

$x = 0$ (кратно $3$ )

$x = 8$ (кратно $2$ )

Этап 3