Алгебра Примеры

$x^{2} - 5 x + 6 = y$ , $(0, 3)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Этап 2

Теорема о промежуточном значении утверждает, что если $f$ является непрерывной функцией с действительными значениями на интервале $[a, b]$ , а число $u$ лежит между $f (a)$ и $f (b)$ , то существует такое число $c$ на интервале $[a, b]$ , что $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Вычислим $f (a) = f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Этап 4.1.2

Умножим $- 5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Этап 4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$f (0) = 6$

Этап 5

Вычислим $f (b) = f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 6$

Этап 5.1.2

Умножим $- 5$ на $3$ .

$f (3) = 9 - 15 + 6$

Этап 5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $15$ из $9$ .

$f (3) = - 6 + 6$

Этап 5.2.2

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (3) = 0$

Этап 6

Так как $0$ находится в интервале $[0, 6]$ , решим уравнение в отношении $x$ , приравняв $y$ к $0$ в $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Этап 6.2

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 6.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 3, 2$

Этап 7

Теорема о промежуточном значении утверждает, что на интервале $[0, 6]$ существует корень $f (c) = 0$ , поскольку $f$ является непрерывной функцией на $[0, 3]$ .

Корни на интервале $[0, 3]$ расположены в $x = 2$ .

Этап 8