Алгебра Примеры

$\sqrt{z^{2} + 6 z + 3} = 3 z + 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{z^{2} + 6 z + 3}}^{2} = {(3 z + 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{z^{2} + 6 z + 3}$ в виде ${(z^{2} + 6 z + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(z^{2} + 6 z + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 z + 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(z^{2} + 6 z + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(z^{2} + 6 z + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(z^{2} + 6 z + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 z + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(z^{2} + 6 z + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 z + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(z^{2} + 6 z + 3)}^{1} = {(3 z + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$z^{2} + 6 z + 3 = {(3 z + 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(3 z + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(3 z + 1)}^{2}$ в виде $(3 z + 1) (3 z + 1)$ .

$z^{2} + 6 z + 3 = (3 z + 1) (3 z + 1)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(3 z + 1) (3 z + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$z^{2} + 6 z + 3 = 3 z (3 z + 1) + 1 (3 z + 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$z^{2} + 6 z + 3 = 3 z (3 z) + 3 z \cdot 1 + 1 (3 z + 1)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$z^{2} + 6 z + 3 = 3 z (3 z) + 3 z \cdot 1 + 1 (3 z) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$z^{2} + 6 z + 3 = 3 \cdot 3 z \cdot z + 3 z \cdot 1 + 1 (3 z) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

Перенесем $z$ .

$z^{2} + 6 z + 3 = 3 \cdot 3 (z \cdot z) + 3 z \cdot 1 + 1 (3 z) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Умножим $z$ на $z$ .

$z^{2} + 6 z + 3 = 3 \cdot 3 z^{2} + 3 z \cdot 1 + 1 (3 z) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$z^{2} + 6 z + 3 = 9 z^{2} + 3 z \cdot 1 + 1 (3 z) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$z^{2} + 6 z + 3 = 9 z^{2} + 3 z + 1 (3 z) + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $3 z$ на $1$ .

$z^{2} + 6 z + 3 = 9 z^{2} + 3 z + 3 z + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$z^{2} + 6 z + 3 = 9 z^{2} + 3 z + 3 z + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $3 z$ и $3 z$ .

$z^{2} + 6 z + 3 = 9 z^{2} + 6 z + 1$

Этап 3

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $z$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $9 z^{2}$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + 6 z + 3 - 9 z^{2} = 6 z + 1$

Этап 3.1.2

Вычтем $6 z$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + 6 z + 3 - 9 z^{2} - 6 z = 1$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $z^{2} + 6 z + 3 - 9 z^{2} - 6 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем $6 z$ из $6 z$ .

$z^{2} + 3 - 9 z^{2} + 0 = 1$

Этап 3.1.3.2

Добавим $z^{2} + 3 - 9 z^{2}$ и $0$ .

$z^{2} + 3 - 9 z^{2} = 1$

Этап 3.1.4

Вычтем $9 z^{2}$ из $z^{2}$ .

$- 8 z^{2} + 3 = 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 8 z^{2} = 1 - 3$

Этап 3.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 8 z^{2} = - 2$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 8 z^{2} = - 2$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 8 z^{2} = - 2$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 z^{2}}{- 8} = \frac{- 2}{- 8}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 z^{2}}{- 8} = \frac{- 2}{- 8}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $z^{2}$ на $1$ .

$z^{2} = \frac{- 2}{- 8}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$z^{2} = \frac{- 2 (1)}{- 8}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 8$ .

$z^{2} = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 4}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$z^{2} = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 4}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$z^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$z = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 3.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$z = \pm \frac{1}{2}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = \frac{1}{2}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - \frac{1}{2}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{z^{2} + 6 z + 3} = 3 z + 1$ истинным.

$z = \frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$z = \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$z = 0.5$