Алгебра Примеры

$\frac{3}{y - 2} - 2 = \frac{1}{y - 1}$

Этап 1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\frac{3}{y - 2} = \frac{1}{y - 1} + 2$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 2, y - 1, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y - 1$ является само значение $y - 1$ .

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $y - 2, y - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 2) (y - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3}{y - 2} = \frac{1}{y - 1} + 2$ умножим на $(y - 2) (y - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3}{y - 2} = \frac{1}{y - 1} + 2$ на $(y - 2) (y - 1)$ .

$\frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 (y - 1) = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 3 \cdot - 1 = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 y - 3 = \frac{1}{y - 1} ((y - 2) (y - 1)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $y - 1$ из $(y - 2) (y - 1)$ .

$3 y - 3 = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 y - 3 = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 ((y - 2) (y - 1))$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(y - 2) (y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y (y - 1) - 2 (y - 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y \cdot y + y \cdot - 1 - 2 (y - 1))$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y \cdot y + y \cdot - 1 - 2 y - 2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} + y \cdot - 1 - 2 y - 2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} - 1 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} - y - 2 y - 2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} - y - 2 y + 2)$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $2 y$ из $- y$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 (y^{2} - 3 y + 2)$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y - 3 = y - 2 + 2 y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 y^{2} - 6 y + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 y - 3 = y - 2 + 2 y^{2} - 6 y + 4$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $6 y$ из $y$ .

$3 y - 3 = - 5 y - 2 + 2 y^{2} + 4$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 2$ и $4$ .

$3 y - 3 = - 5 y + 2 y^{2} + 2$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 5 y + 2 y^{2} + 2 = 3 y - 3$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$- 5 y + 2 y^{2} + 2 - 3 y = - 3$

Этап 4.2.2

Вычтем $3 y$ из $- 5 y$ .

$- 8 y + 2 y^{2} + 2 = - 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- 8 y + 2 y^{2} + 2 + 3 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ и $3$ .

$- 8 y + 2 y^{2} + 5 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 8$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $40$ из $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{4 + \sqrt{6}}{2}, \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{4 + \sqrt{6}}{2}, \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$

Десятичная форма:

$y = 3.22474487 \dots, 0.77525512 \dots$