Алгебра Примеры

$y = \frac{\log (x)}{4 + \log (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\log (x)}{4 + \log (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = 4 + \log (x)$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Производная $\log (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $4 + \log (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.4

Производная $\log (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.5

Объединим $\frac{1}{x \ln (10)}$ и $\log (x)$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.6

Чтобы записать $(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.7

Объединим $(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ и $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.9

Объединим $x$ и $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.10

Объединим $\ln (10)$ и $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $\ln (10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.12

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.13

Умножим $4 + \log (x)$ на $1$ .

$\frac{\frac{4 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.14

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.15

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.16

Перепишем $\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.17

Умножим $\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}$ на $\frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1.1

Логарифм $1$ по основанию $10$ равен $0$ .

$\frac{4 + 0}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.18.1.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.18.2

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Этап 3.18.3

Изменим порядок множителей в $\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ .

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$