Алгебра Примеры

$y = \frac{x^{2}}{\cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{\cos (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - x^{2} (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + 1 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5.1.2

Изменим порядок множителей в $2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x \cos (x)$ .

$\frac{x (2 \cos (x)) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{x (2 \cos (x)) + x (x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 \cos (x)) + x (x \sin (x))$ .

$\frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$