Алгебра Примеры

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} \leq \frac{6}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Решим $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $x^{2} - 3 x + 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 3 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Этап 1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим $\frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 = \frac{6}{x^{2} - 2^{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$

Этап 1.2.2.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$2 = \frac{6}{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 3 x + 2)$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ на $x^{2} - 3 x + 2$ .

$2 = \frac{6 (x^{2} - 3 x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2.2.1.3

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 1.2.2.1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 = \frac{6 ((x - 2) (x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 = \frac{6 (x - 1)}{x + 2}$

Этап 1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$

Этап 1.3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, 1$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$x + 2, 1$

Этап 1.3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + 2$

Этап 1.3.3

Каждый член в $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ умножим на $x + 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим каждый член $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ на $x + 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Этап 1.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Этап 1.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 (x - 1) = 2 (x + 2)$

Этап 1.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 6 \cdot - 1 = 2 (x + 2)$

Этап 1.3.3.2.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$6 x - 6 = 2 (x + 2)$

Этап 1.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 6 = 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 1.3.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x - 6 = 2 x + 4$

Этап 1.3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$6 x - 6 - 2 x = 4$

Этап 1.3.4.1.2

Вычтем $2 x$ из $6 x$ .

$4 x - 6 = 4$

Этап 1.3.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 4 + 6$

Этап 1.3.4.2.2

Добавим $4$ и $6$ .

$4 x = 10$

Этап 1.3.4.3

Разделим каждый член $4 x = 10$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Разделим каждый член $4 x = 10$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Этап 1.3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Этап 1.3.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{4}$

Этап 1.3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = \frac{2 (5)}{4}$

Этап 1.3.4.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.4.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.4.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 1.4

Найдем область определения $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 1.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 1.4.2.2

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.4.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.4.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$

Этап 1.4.3

Зададим знаменатель в $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 1.4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 1.4.4.2

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.4.4.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.4.4.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.4.4.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.4.4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 1.4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 1.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Этап 1.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 2} \leq \frac{6}{{(- 4)}^{2} - 4}$

Этап 1.6.1.3

Левая часть $0.0\overline{6}$ меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2} \leq \frac{6}{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 1.6.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $- 1.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 1.6.3.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{{(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2} \leq \frac{6}{{(1.5)}^{2} - 4}$

Этап 1.6.3.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $- 3.\overline{428571}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.4

Проверим значение на интервале $2 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Выберем значение на интервале $2 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.25$

Этап 1.6.4.2

Заменим $x$ на $2.25$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{{(2.25)}^{2} - 3 \cdot 2.25 + 2} \leq \frac{6}{{(2.25)}^{2} - 4}$

Этап 1.6.4.3

Левая часть $6.4$ больше правой части $5.64705882$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.5

Проверим значение на интервале $x > \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 1.6.5.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 + 2} \leq \frac{6}{{(5)}^{2} - 4}$

Этап 1.6.5.3

Левая часть $0.1\overline{6}$ меньше правой части $0.\overline{285714}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Истина

$2 < x < \frac{5}{2}$ Ложь

$x > \frac{5}{2}$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Истина

$2 < x < \frac{5}{2}$ Ложь

$x > \frac{5}{2}$ Истина

Этап 1.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $1 < x < 2$ или $x \geq \frac{5}{2}$

Этап 2

Используем неравенство $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ для построения формы записи множества.

${x | x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}}$

Этап 3