Алгебра Примеры

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 0.5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $0.5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $0.5 x$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.2.4

Умножим $0.5$ на $1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.2.5

Перенесем $0.5$ влево от $e^{0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 e^{- 0.5 x}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 0.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.5 x$ по $x$ равна $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 0.5$ на $1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $- 0.5$ влево от $e^{- 0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 0.5$ на $64$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

Этап 2.2

Перенесем $- 32 e^{- 0.5 x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $\ln (0.5 e^{0.5 x})$ в виде $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Этап 2.4.2

Развернем $\ln (e^{0.5 x})$ , вынося $0.5 x$ из логарифма.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Этап 2.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Этап 2.4.4

Умножим $0.5$ на $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Этап 2.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $\ln (32 e^{- 0.5 x})$ в виде $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

Этап 2.5.2

Развернем $\ln (e^{- 0.5 x})$ , вынося $- 0.5 x$ из логарифма.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

Этап 2.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

Этап 2.5.4

Умножим $- 0.5$ на $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

Этап 2.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

Этап 2.7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

Этап 2.8

Разделим $0.5$ на $32$ .

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

Этап 2.9

Вычтем $0.5 x$ из $- 0.5 x$ .

$\ln (0.015625) = - 1 x$

Этап 2.10

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

Этап 2.11

Разделим каждый член $- 1 x = \ln (0.015625)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Разделим каждый член $- 1 x = \ln (0.015625)$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Сократим общий множитель $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.2.1.2

Вынесем множитель $1$ из $- 1 (1) x$ .

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.2.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.2.1

Перепишем $- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ в виде $- (- 1 \cdot 1 x)$ .

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.2.2.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.2.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Этап 2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

Этап 2.11.3.2

Разделим $\ln (0.015625)$ на $1$ .

$x = - \ln (0.015625)$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- \ln (0.015625)$ .

$- \ln (0.015625)$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ в интервале $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ .

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \ln (0.015625))$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $0.5$ на $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $0.5$ на $e^{1.57944154}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 0.5$ на $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

Этап 5.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

Этап 5.2.1.5

Объединим $- 32$ и $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

Этап 5.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

Этап 5.2.1.7

Заменим $e$ приближением.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

Этап 5.2.1.8

Возведем $2.71828182$ в степень $1.57944154$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

Этап 5.2.1.9

Разделим $32$ на $4.85224527$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

Этап 5.2.1.10

Умножим $- 1$ на $6.59488508$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

Этап 5.2.2

Вычтем $6.59488508$ из $2.42612263$ .

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 4.16876244$ .

$- 4.16876244$

Этап 5.3

При $x = 3.15888308$ производная имеет вид $- 4.16876244$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - \ln (0.015625))$ .

Убывание на $(- \infty, - \ln (0.015625))$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \ln (0.015625), \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $0.5$ на $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $0.5$ на $e^{2.57944154}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 0.5$ на $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

Этап 6.2.1.5

Объединим $- 32$ и $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

Этап 6.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

Этап 6.2.1.7

Заменим $e$ приближением.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

Этап 6.2.1.8

Возведем $2.71828182$ в степень $2.57944154$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

Этап 6.2.1.9

Разделим $32$ на $13.18977016$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

Этап 6.2.1.10

Умножим $- 1$ на $2.42612263$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

Этап 6.2.2

Вычтем $2.42612263$ из $6.59488508$ .

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $4.16876244$ .

$4.16876244$

Этап 6.3

При $x = 5.15888308$ производная имеет вид $4.16876244$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \ln (0.015625), \infty)$ .

Возрастание в области $(- \ln (0.015625), \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \ln (0.015625), \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

Этап 8