Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{y (z + 5)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 3$ и $g (x) = y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (z + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $y (z + 5)$ является константой относительно $x$ , производная $y (z + 5)$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(y z + y \cdot 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{y z + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.1.2

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$\frac{y z + 5 \cdot y \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{y z + 5 y - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 x - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.1.4.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1 \cdot 3 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.1.5.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Объединим противоположные члены в $y z + 5 y + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $y z + 5 y$ и $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.2.2

Добавим $y z + 5 y$ и $0$ .

$\frac{y z + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $y$ из $y z + 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $y$ из $y z$ .

$\frac{y (z) + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $y$ из $5 y$ .

$\frac{y (z) + y \cdot 5}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.7.3

Вынесем множитель $y$ из $y (z) + y \cdot 5$ .

$\frac{y (z + 5)}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Этап 3.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{z + 5}{y {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $z + 5$ и ${(z + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{y {(z + 5)}^{2}}$

Этап 3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель $z + 5$ из $y {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Этап 3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Этап 3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y (z + 5)}$