Алгебра Примеры

$30$ , $- 6$ , $\frac{6}{5}$ , $- \frac{6}{25}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $- \frac{1}{5}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = - \frac{1}{5}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 30$ и $r = - \frac{1}{5}$ .

$a_{n} = 30 {(- \frac{1}{5})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{5}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n - 1})$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{5^{n - 1}})$

Этап 5

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{5^{n - 1}})$

Этап 6

Объединим ${(- 1)}^{n - 1}$ и $\frac{1}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = 30 \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Этап 7

Объединим $30$ и $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{30 {(- 1)}^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Этап 8

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 9

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- \frac{1}{5})}^{5} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- 1)}^{5} {(\frac{1}{5})}^{5} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{5^{5}}) - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1^{5}}{5^{5}} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.3

Единица в любой степени равна единице.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{5^{5}} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.4

Возведем $5$ в степень $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{3125} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3125}{3125}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{3125} - 1 \cdot \frac{3125}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3125}{3125}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{3125} + \frac{- 1 \cdot 3125}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 3125}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Умножим $- 1$ на $3125$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 1 - 3125}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.8.2

Вычтем $3125$ из $- 1$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 3126}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 10.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 11.2

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{\frac{- 1 - 5}{5}}$

Этап 11.4.2

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{\frac{- 6}{5}}$

Этап 11.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{- \frac{6}{5}}$

Этап 12

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{3126}{3125}}{\frac{6}{5}}$

Этап 13

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{3126}{3125} \cdot \frac{5}{6})$

Этап 14

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $6$ из $3126$ .

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{6 (521)}{3125} \cdot \frac{5}{6})$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{6 \cdot 521}{3125} \cdot \frac{5}{6})$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{521}{3125} \cdot 5)$

Этап 15

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $5$ из $3125$ .

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{521}{5 (625)} \cdot 5)$

Этап 15.2

Сократим общий множитель.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{521}{5 \cdot 625} \cdot 5)$

Этап 15.3

Перепишем это выражение.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{521}{625}$

Этап 16

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$S_{5} = 5 (6) \cdot \frac{521}{625}$

Этап 16.2

Вынесем множитель $5$ из $625$ .

$S_{5} = 5 \cdot 6 \cdot \frac{521}{5 \cdot 125}$

Этап 16.3

Сократим общий множитель.

$S_{5} = 5 \cdot 6 \cdot \frac{521}{5 \cdot 125}$

Этап 16.4

Перепишем это выражение.

$S_{5} = 6 \cdot \frac{521}{125}$

Этап 17

Объединим $6$ и $\frac{521}{125}$ .

$S_{5} = \frac{6 \cdot 521}{125}$

Этап 18

Умножим $6$ на $521$ .

$S_{5} = \frac{3126}{125}$