Алгебра Примеры

$e^{x} + e^{- 2 x}$

Этап 1

Запишем $e^{x} + e^{- 2 x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- 2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Этап 2.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Этап 2.3.5

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $e^{x} - 2 e^{- 2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- 2 x})$

Этап 3.2

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- 2 x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{- 2 x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- 2 x}$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Этап 3.3.2.2

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} \cdot - 2)$

Этап 3.3.6

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (- 2 \cdot e^{- 2 x})$

Этап 3.3.7

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = e^{x} + 4 e^{- 2 x}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 e^{- 2 x} + e^{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- 2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 5.1.2

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 5.1.3.1.2

$f' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 5.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 5.1.3.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Этап 5.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Этап 5.1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Этап 5.1.3.5

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{x} - 2 e^{- 2 x}$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$

Этап 6.2

Перенесем $- 2 e^{- 2 x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$e^{x} = 2 e^{- 2 x}$

Этап 6.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- 2 x})$

Этап 6.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2 e^{- 2 x})$

Этап 6.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 e^{- 2 x})$

Этап 6.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2 e^{- 2 x})$

Этап 6.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем $\ln (2 e^{- 2 x})$ в виде $\ln (2) + \ln (e^{- 2 x})$ .

$x = \ln (2) + \ln (e^{- 2 x})$

Этап 6.5.2

Развернем $\ln (e^{- 2 x})$ , вынося $- 2 x$ из логарифма.

$x = \ln (2) - 2 x \ln (e)$

Этап 6.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x = \ln (2) - 2 x \cdot 1$

Этап 6.5.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x = \ln (2) - 2 x$

Этап 6.6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x + 2 x = \ln (2)$

Этап 6.6.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$3 x = \ln (2)$

Этап 6.7

Разделим каждый член $3 x = \ln (2)$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Разделим каждый член $3 x = \ln (2)$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3}$

Этап 6.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3}$

Этап 6.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{3}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\ln (2)}{3}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{\ln (2)}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 e^{- 2 \frac{\ln (2)}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\frac{\ln (2)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$4 e^{- 2 (\frac{1}{3} \ln (2))} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (2)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$4 e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.3

Упростим $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$4 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2})} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$4 {(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.5

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$4 \cdot 2^{\frac{- 2}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \cdot 2^{- \frac{2}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.7

Объединим $4$ и $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Этап 10.8

Перепишем $\frac{\ln (2)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$

Этап 10.9

Упростим $\frac{1}{3} \ln (2)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Этап 10.10

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Этап 11

$x = \frac{\ln (2)}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\ln (2)}{3}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{\ln (2)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Simplify $\frac{\ln (2)}{3}$ to substitute in $f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перепишем $\frac{\ln (2)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$

Этап 12.1.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (2)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$y = \ln (2^{\frac{1}{3}})$

Этап 12.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Этап 12.3

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Этап 12.3.1.2

Упростим $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2})}$

Этап 12.3.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + {(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$

Этап 12.3.1.4

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{1}{3} \cdot - 2}$

Этап 12.3.1.4.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{- 2}{3}}$

Этап 12.3.1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{- \frac{2}{3}}$

Этап 12.3.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 12.3.2

Окончательный ответ: $2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$ .

$(\frac{\ln (2)}{3}, 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})$ — локальный минимум

Этап 14