Алгебра Примеры

$\int (5 x^{4} + 8 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 3) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 5 x^{4} + 8 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{4} d x + \int 8 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{4} d x + \int 8 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 5

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 8 \int x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 9 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 7

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 9

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x + \int 3 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 12.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 12.1.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Этап 12.2

Упростим.

$x^{5} + 2 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + C$