Алгебра Примеры

$y = \sqrt[3]{x} + 1$ ; $[0, 1]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt[3]{x} + 1 = 0$

Этап 1.2

Решим $\sqrt[3]{x} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[3]{x} = - 1$

Этап 1.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Упростим.

$x = {(- 1)}^{3}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - 1$

Этап 1.3

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- 1, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\sqrt[3]{x} + 1$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} d x$

Этап 3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} d x$

Этап 3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + x]_{0}^{1}$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1}$ и $x]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x]_{0}^{1}$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + 1) - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Этап 3.7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{4} \cdot 1 + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Этап 3.7.2.2.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{3}{4} + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Этап 3.7.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3}{4} + \frac{4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Этап 3.7.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Этап 3.7.2.2.5

Добавим $3$ и $4$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Этап 3.7.2.2.6

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} + 0)$

Этап 3.7.2.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Этап 3.7.2.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Этап 3.7.2.2.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + 0)$

Этап 3.7.2.2.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0 + 0)$

Этап 3.7.2.2.10

Умножим $\frac{3}{4}$ на $0$ .

$\frac{7}{4} - (0 + 0)$

Этап 3.7.2.2.11

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{7}{4} - 0$

Этап 3.7.2.2.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{7}{4} + 0$

Этап 3.7.2.2.13

Добавим $\frac{7}{4}$ и $0$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 4