Алгебра Примеры

$f (x) = {(x^{2} + 6)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (6))$

Этап 1.2.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x)$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{3} x$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $8 {(x^{2} + 6)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} + 6)}^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x {(x^{2} + 6)}^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 6)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 6)}^{3})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 6)}^{3}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (6))) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} + 6)}^{2} x) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим ${(x^{2} + 6)}^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3})$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Этап 2.11.2

Умножим $6$ на $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} + 6)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Этап 2.11.3

Вынесем множитель $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ из $48 x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2} + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вынесем множитель $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ из $48 x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Этап 2.11.3.2

Вынесем множитель $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ из $8 {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (x^{2} + 6)$

Этап 2.11.3.3

Вынесем множитель $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ из $8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (x^{2} + 6)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 6)$

Этап 2.11.4

Добавим $6 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.5

Перепишем ${(x^{2} + 6)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} + 6) (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.6

Развернем $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} + 6) + 6 (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.7.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.7.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.7.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.7.1.2

Перенесем $6$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 6 \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.7.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 36) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.7.2

Добавим $6 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 12 x^{2} + 36) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (12 x^{2}) + 8 \cdot 36) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.9.1

Умножим $12$ на $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 96 x^{2} + 8 \cdot 36) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.9.2

Умножим $8$ на $36$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 96 x^{2} + 288) (7 x^{2} + 6)$

Этап 2.11.10

Развернем $(8 x^{4} + 96 x^{2} + 288) (7 x^{2} + 6)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.11.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.2.3

Добавим $2$ и $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.3

Умножим $8$ на $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.4

Умножим $6$ на $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{2} x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.11.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{2 + 2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.6.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{4}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.7

Умножим $96$ на $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.8

Умножим $6$ на $96$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.9

Умножим $7$ на $288$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 288 \cdot 6$

Этап 2.11.11.10

Умножим $288$ на $6$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 1728$

Этап 2.11.12

Добавим $48 x^{4}$ и $672 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 720 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 1728$

Этап 2.11.13

Добавим $576 x^{2}$ и $2016 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$ .

$56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$